열린 집합

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어떤 집합 [math]X[/math]열린 집합(open set)이라는 것은 [math]X[/math]안의 각각의 원소 [math]p[/math]에 대해서 어떤 열린 근방(open neighborhood) [math]U[/math]가 있어서, [math]x \in U \subset X[/math]를 만족한다는 것이다.

거리 공간[편집]

거리 공간 [math]\left(X, d \right)[/math]부분 집합 [math]U[/math]가 열려있다는 것은 [math]U[/math]열린 공들의 합집합이라는 것이다.

위상 공간[편집]

위상 공간 [math]\left(X, \mathcal{T} \right)[/math]부분 집합 [math]U[/math]가 열려있다는 것은 [math]U \in \mathcal{T}[/math]라는 것이다.

성질[편집]

  • 임의의 개수의 열린 집합들의 합집합은 여전히 열린 집합이다.
  • 유한개의 열린 집합들의 교집합은 여전히 열린 집합이다.[1]
  • 열린 집합의 내부(interior)는 그 자신이다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 유한개가 아닌 개수의 열린 집합들의 교집합은 열려있지 않을 수도 있다.