차원

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기하학에서 차원(dimension)이란 어떤 공간에 있는 임의의 점의 위치를 표시하기위한 최소한의 요소의 수이다. 예를 들어, 평면 위에 있는 어떤 점의 위치를 표시하려면 적어도 두개의 좌표가 필요하므로 평면은 2차원이다.

선형대수학[편집]

선형대수학에서 어떤 벡터 공간의 차원은 그 벡터 공간의 기저(basis)를 이루는 원소의 개수이다. 예를 들어, 3차원 유클리드 공간 [math]\mathbb{R}^3[/math]의 기저 중 하나인 [math]\beta = \{(1,\ 0,\ 0), (0,\ 1,\ 0), (0,\ 0,\ 1)\}[/math]의 원소의 개수는 3개이므로, [math]\mathbb{R}^3[/math]의 차원은 3이다.

  • 차원이 같은 벡터 공간은 서로 동형이다.

물리학[편집]

물리학에서 어떤 물리량의 차원은 그 물리량을 표시할 때 필요한 단위로, 기본적인 것에는 길이 차원(L), 질량 차원(M), 시간 차원(T)이 있다. 예를 들어, 의 단위는 [math]킬로그램·미터/초^2[/math]으로 쓸 수 있으므로, 힘의 차원은 [math]\frac{ML}{T^2}[/math]이다.

하우스도르프 차원[편집]

하우스도르프 차원(Hausdorff dimension)은 어떤 거리공간의 차원을 음이 아닌 실수로 확장한 개념으로, 펠릭스 하우스도르프의 이름을 땄다. 하우스도르프 차원은 어떤 거리공간의 차원을 다음과 같이 정의한다.

  • 어떤 공간을 [math]n[/math]배 확대했을 때, [math]m[/math]개의 원래 공간이 생긴다면, 그 공간의 차원은 [math]\log_{n}{m}[/math]이다.

예를 들어, 가로와 세로의 길이가 1인 평면을 2배 확대하면 가로와 세로의 길이가 2인 평면이 생기는데 이것은 원래의 평면이 4개 생긴 것과 같으므로 이 평면의 차원은 [math]\log_{2}{4}=2[/math]이다.

같이 보기[편집]