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집합

2013-10-12T00:58:05Z

ProtArie: /* 관련 기호 */

[[수학]]에서 '''집합'''(set)은 어떤 조건에 의해 결정되는 요소를 순서와 무관하게 모아 놓은 모임이다. 이때, 모인 요소들을 그 집합의 원소라고 부른다. 수학적으로 어떤 모임이 집합이라면, 그것은 다음 두 조건을 만족한다.
# 어떤 원소를 선택하면, 그것은 집합에 속해있거나 속해있지 않다.
# 어떤 두 원소를 선택하면, 그것들은 서로 같거나 같지 않다.
집합을 다루는 수학의 학문을 [[집합론]]이라고 한다.

== 관련 기호 ==
* <math>x</math>가 <math>X</math>의 원소이다 <math>:x \in X.</math>
* <math>X</math>가 <math>Y</math>의 [[부분집합]]이다 <math>:X \subset Y.</math>
* 두 원소 <math>x, y</math>가 서로 같다 <math>:x=y.</math>
* 두 집합 <math>X, Y</math>가 서로 같다 <math>:X=Y.</math>
* <math>X, Y</math>의 [[합집합]] <math>:X \cup Y.</math>
* <math>X, Y</math>의 [[교집합]] <math>:X \cap Y.</math>
* <math>X, Y</math>의 [[차집합]] <math>:X-Y.</math>
* <math>X</math>의 [[여집합]] <math>:X^C.</math>
* <math>X</math>의 [[멱집합]] <math>:\mathcal{P}(X).</math>

== 집합의 표현 ==
집합을 표현하는 방법에는 '''원소나열법'''과 '''조건제시법'''이 있다.

=== 원소나열법 ===
말 그대로 원소를 직접 나열하여 집합을 표현하는 방법이다.
* <math>A=\{ a,\ b,\ c \},\ B=\{ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \cdots \}.</math>

=== 조건제시법 ===
어떤 것이 집합의 원소가 되는 것인지 표현하여 집합을 정의하는 방법이다. 표현법은 사람마다 다르지만, 최대한 간략하게 표현하려는 노력이 보인다.
* 바(|)를 이용한 표현.
** <math>A=\{x|x=2n,\ n \in \mathbb{N} \}.</math>
** <math>B=\{y|y<9,\ y \in \mathbb{Q} \}.</math>
* 콜론(:)을 이용한 표현.
** <math>A=\{x:x=2n,\ n \in \mathbb{N} \}.</math>
** <math>B=\{y:y<9,\ y \in \mathbb{Q} \}.</math>
* 다른 표현들
** <math>A=\{x|x=2n,\ n =1,\ 2,\ 3,\ \cdots \}.</math>
** <math>B=\{y \in \mathbb{Q}:y<9 \}.</math>

== 같이 보기 ==
* [[기수]] (cardinal)
* [[유한집합]] (finite set)
* [[무한집합]] (infiniteset)
* [[부분집합]] (subset)
* [[합집합]] (union)
* [[교집합]] (intersection)
* [[차집합]] (difference)
* [[여집합]] (complement)
* [[서로소(집합)|서로소]] (disjoint)

[[분류:수학]]
[[분류:집합론]]

집합

2013-10-12T00:57:23Z

ProtArie: /* 관련 기호 */

[[수학]]에서 '''집합'''(set)은 어떤 조건에 의해 결정되는 요소를 순서와 무관하게 모아 놓은 모임이다. 이때, 모인 요소들을 그 집합의 원소라고 부른다. 수학적으로 어떤 모임이 집합이라면, 그것은 다음 두 조건을 만족한다.
# 어떤 원소를 선택하면, 그것은 집합에 속해있거나 속해있지 않다.
# 어떤 두 원소를 선택하면, 그것들은 서로 같거나 같지 않다.
집합을 다루는 수학의 학문을 [[집합론]]이라고 한다.

== 관련 기호 ==
* <math>x</math>가 <math>X</math>의 원소이다: <math>x \in X.</math>
* <math>X</math>가 <math>Y</math>의 [[부분집합]]이다: <math>X \subset Y.</math>
* 두 원소 <math>x, y</math>가 서로 같다: <math>x=y.</math>
* 두 집합 <math>X, Y</math>가 서로 같다: <math>X=Y.</math>
* <math>X, Y</math>의 [[합집합]]: <math>X \cup Y.</math>
* <math>X, Y</math>의 [[교집합]]: <math>X \cap Y.</math>
* <math>X, Y</math>의 [[차집합]]: <math>X-Y.</math>
* <math>X</math>의 [[여집합]]: <math>X^C.</math>
* <math>X</math>의 [[멱집합]]: <math>\mathcal{P}(X).</math>

== 집합의 표현 ==
집합을 표현하는 방법에는 '''원소나열법'''과 '''조건제시법'''이 있다.

=== 원소나열법 ===
말 그대로 원소를 직접 나열하여 집합을 표현하는 방법이다.
* <math>A=\{ a,\ b,\ c \},\ B=\{ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \cdots \}.</math>

=== 조건제시법 ===
어떤 것이 집합의 원소가 되는 것인지 표현하여 집합을 정의하는 방법이다. 표현법은 사람마다 다르지만, 최대한 간략하게 표현하려는 노력이 보인다.
* 바(|)를 이용한 표현.
** <math>A=\{x|x=2n,\ n \in \mathbb{N} \}.</math>
** <math>B=\{y|y<9,\ y \in \mathbb{Q} \}.</math>
* 콜론(:)을 이용한 표현.
** <math>A=\{x:x=2n,\ n \in \mathbb{N} \}.</math>
** <math>B=\{y:y<9,\ y \in \mathbb{Q} \}.</math>
* 다른 표현들
** <math>A=\{x|x=2n,\ n =1,\ 2,\ 3,\ \cdots \}.</math>
** <math>B=\{y \in \mathbb{Q}:y<9 \}.</math>

== 같이 보기 ==
* [[기수]] (cardinal)
* [[유한집합]] (finite set)
* [[무한집합]] (infiniteset)
* [[부분집합]] (subset)
* [[합집합]] (union)
* [[교집합]] (intersection)
* [[차집합]] (difference)
* [[여집합]] (complement)
* [[서로소(집합)|서로소]] (disjoint)

[[분류:수학]]
[[분류:집합론]]

유한집합

2013-10-12T00:56:36Z

ProtArie: /* 같이 보기 */

'''유한집합'''(finite set)은 원소의 개수가 무한하지 않고, 어떤 유한한 [[정수]]에 대응되는 만큼만 있는 [[집합]]이다. 예를 들어, <math>\{4,\ 9,\ 11,\ 8 \}</math>의 원소의 개수는 [[4]]에 대응되므로 유한집합이다.

== 성질 ==
* [[공집합]]은 유한집합이다.
* 유한개의 유한집합의 [[합집합]]과 [[교집합]]은 유한집합이다.

== 원소의 개수 ==
유한집합 <math>A</math>의 원소의 개수를 기호로는 <math>n(A),\ |A|</math>등으로 표현한다.

== 같이 보기 ==
* [[집합]]
* [[무한집합]]
* [[가산집합]]

[[분류:수학]]
[[분류:집합론]]

합집합

2013-10-09T05:22:17Z

ProtArie:

어떤 두 [[집합]] <math>X</math>와 <math>Y</math>의 '''합집합'''(union)은, <math>X</math>에 속하거나 <math>Y</math>에 속하는 원소를 모아 놓은 집합으로, 기호로는 <math>X \cup Y</math>로 적는다.<ref><math>X+Y</math>로 적는 사람도 있지만, 이 기호는 다른 의미를 가지는 경우가 더 많다.</ref> 예를 들어, <math>\{ 1,\ 2,\ 3 \}</math>과 <math>\{2,\ 4,\ 6 \}</math>의 합집합은 <math>\{ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6 \}</math>이다.

== 성질 ==
* <math>X \subset \left( X \cup Y \right)</math>.
* <math>\left( X \cap Y \right) \subset \left( X \cup Y \right)</math>.
임의의 두 [[유한집합]] <math>X,\ Y</math>에 대해 다음이 성립한다.
* <math>n(A \cup B) = n(A)+n(B)-n(A \cap B)</math>.

== 같이 보기 ==
* [[교집합]]
* [[서로소 합집합]]

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수학]]
[[분류:집합론]]

합동

2013-10-09T05:21:58Z

ProtArie: 새 문서: {{동음이의어}} * 기하학에서 두 도형이 합동이라는 것은, 한 도형을 돌리거나, 뒤집거나 또는 평행이동해서 다른 도형과 ...

{{동음이의어}}
* 기하학에서 두 도형이 [[합동(기하학)|합동]]이라는 것은, 한 도형을 돌리거나, 뒤집거나 또는 평행이동해서 다른 도형과 완전히 겹치게 할 수 있다는 것이다.
* 수론에서 두 정수가 \(m\)을 법으로 하여 [[합동(수론)|합동]]이라는 것은, 각각의 수를 \(m\)으로 나눈 나머지가 같다는 것이다.

합동(수론)

2013-10-09T05:18:31Z

ProtArie: 새 문서: 수론에서 두 정수 \(a\)와 \(b\)가 법(modulo) \(m\)에 대해서 '''합동'''(congruence)이라는 것은 다음을 만족한다는 것이다: \[m|(a−b).\] 이것을...

[[수론]]에서 두 [[정수]] \(a\)와 \(b\)가 법(modulo) \(m\)에 대해서 '''합동'''(congruence)이라는 것은 다음을 만족한다는 것이다: \[m|(a−b).\] 이것을 다르게 표현하자면, \(a\)를 \(m\)으로 나눈 나머지와 \(b\)를 \(m\)으로 나눈 나머지가 같다는 뜻이다. 즉, 합동은 나머지가 같은 두 정수를 같은 수로 취급하는 [[동치 관계]]이다. 이것을 다음과 같이 표현한다: \[ a\equiv b\;(\operatorname{mod}m).\]

== 합동이 동치 관계임을 증명 ==
# [[반사 관계]]: \(m|0 \iff m|(a−a) \iff a≡a\;(\operatorname{mod}m).\)
# [[대칭 관계]]: \(a\equiv b\;(\operatorname{mod}m) \Longrightarrow m|(a−b) \Longrightarrow m|(b−a) \Longrightarrow b\equiv a\;(\operatorname{mod}m).\)
# [[추이 관계]]: \(a\equiv b,b\equiv c\;(\operatorname{mod}m)\Longrightarrow m|(a−b), m|(b−c)\Longrightarrow m|{(a−b)+(b−c)}\Longrightarrow m|(a−c)\Longrightarrow a\equiv c\;(\operatorname{mod}m).\)

== 성질 및 정리 ==
이 문단에서는 무엇을 법으로 하는지는 생략하여 표현하겠다. \(a,b,c,d\)는 모두 정수이다.
* \(a\equiv b\)이면, \(a\pm c\equiv b\pm c\)이다.
* \(a\equiv b\)이면, \(ac\equiv bc\)이다.
* \(a\equiv c\)이고 \(b\equiv d\)이면, \(a\pm b\equiv c\pm d\)이다.
* \(a\equiv c\)이고 \(b\equiv d\)이면, \(ab\equiv cd\)이다.
* \(a\equiv b\)이면, \(a^c\equiv b^c\)이다.
* 법 \(m_1,m_2,\cdots,m_k\)에 대해서 각각 \(a\equiv b\)이라고 하자. 그러면 \(m_1,m_2,\cdots,m_k\)의 [[최소공배수]] \(M\)을 법으로 해도 \(a\equiv b\)이다. 즉, \(a\equiv b\;(\operatorname{mod}M)\)이 성립한다.

== 같이 보기 ==
* [[합동 방정식]]
* [[중국인의 나머지 정리]]

[[분류:수학]]
[[분류:수론]]

하우스도르프 공간

2013-10-09T05:09:30Z

ProtArie: /* 같이 보기 */

어떤 [[위상공간]] <math>X</math>가 '''하우스도르프 공간'''(Hausdorff space) 또는 '''<math>T_2</math>공간'''(<math>T_2</math>-space)이라는 것은, 다음을 만족한다는 것이다.
* 임의의 서로 다른 <math>X</math>의 두 점 <math>x,\ y</math>에 대하여 다음을 만족하는 어떤 두개의 [[열린 집합]] <math>U, V \subset X</math>가 있다는 것이다.
*# <math>x \in U.</math>
*# <math>y \in V.</math>
*# <math>U \cap V=</math>'''∅'''.

== 성질 ==
* 하우스도르프 공간은 [[T1공간|<math>T_1</math>공간]]이다.
* 하우스도르프 공간의 [[컴팩트 공간|컴팩트]]인 [[부분집합]]은 [[닫힌 집합]]이다.
* 하우스도르프 공간의 [[부분공간]]은 하우스도르프 공간이다.

== 같이 보기 ==
* [[정칙 공간]](regular space)
* [[정규 공간]](normal space)
* [[컴팩트 공간]](compact space)

[[분류:수학]]
[[분류:위상수학]]

평면

2013-10-09T05:09:09Z

ProtArie: /* 같이 보기 */

'''평면'''은 무한히 넓고 완전하게 평평한, 부피가 없는 기하학적 요소이다. [[기하학 기초론]]에서는 평면은 [[무정의 용어]]로, [[공리]]를 설정하여 간접적으로 규정하여 사용한다.

== 평면에 대한 공리 ==
* 한 직선위에 있지 않는 임의의 세 [[점]]이 정하는 평면은 유일하다.
* 두 개의 서로 다른 점이 한 평면위에 있다면, 그 점들을 잇는 [[직선]]은 그 평면에 포함된다.
* 두 개의 평면이 한 점을 공유하면, 그 점을 지나고 두 평면에 모두 포함되는 직선이 정확하게 하나 존재한다.

== 공간(3차원) ==
=== 점과 평면 ===
3차원 공간에서 임의의 점은 어떤 평면 위에 있거나, 그것에 포함되지 않는다.

=== 직선과 평면 ===
* 한 직선과 한 평면은 다음 중 한 가지 관계에 있다.
*# 평면이 직선을 포함한다.
*# 한 점에서 만난다.
*# 서로 평행하다.

=== 평면과 평면 ===
* 어떤 두 평면은 다음 중 한 가지 관계에 있다.
*# 서로 같다.
*# 서로 만난다. 두 평면이 만나면 [[직선]]이 생기는데, 그것을 "교선"이라고 한다.
*# 서로 평행하다.

== 평면의 식 ==
=== 직교 좌표계 ===
일반적인 3차원 이상의 <math>n</math>차원 직교 좌표계에서, 평면은 <math>n-2</math>개의 [[일차식]]에 대한 [[연립방정식]]의 해공간이다.

==== 공간 직교 좌표계 ====
공간 직교 좌표계에서 임의의 평면은 다음과 같은 하나의 [[일차식]]으로 표현될 수 있다.
: <math>ax + by + cz + d = 0</math>
이 평면은 법선[[벡터]]가 <math>\mathbf{n} = (a,\ b,\ c)</math>인 평면이다.

== 이면각 ==
두 평면이 이루는 각의 크기를 '''이면각'''이라고 한다. 이면각은 두 평면의 법선벡터가 이루는 각과 크기가 같다. 3차원 직교 좌표계에서 두 평면의 이면각은 다음 공식을 이용하여 구할 수 있다.
: <math>S_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0</math>
: <math>S_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0</math>
위에 주어진 두 평면 <math>S_1</math>과 <math>S_2</math>가 이루는 각의 크기가 <math>\theta</math>이고, 두 평면의 법선벡터가 각각 <math>\mathbf{n_1}, \mathbf{n_2}</math>라면 다음이 성립한다.
: <math>\cos{\theta} = \frac{\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}}{\| \mathbf{n_1}\| \| \mathbf{n_2} \|} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}</math>
(단, 여기서 <math>\| \mathbf{x}\|</math>는 벡터 <math>\mathbf{x}</math>의 크기.)

== 부분공간 ==
원점을 지나는 평면은 그 평면을 표함하는 공간의 부분공간이 되고, [[차원]]은 [[2]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[평면도형]]
* [[반평면]]

{{기하학}}

[[분류:수학]]
[[분류:기하학]]

페르마 수

2013-10-09T05:08:53Z

ProtArie: 새 문서: '''페르마 수'''(The Fermat numbers)는 다음과 같이 표현되는 자연수의 수열이다: \[F_n=2^{2^n}+1.\] 여기서 \(n=0,1,2,\cdots\)이다. 페르마 수는 처...

'''페르마 수'''(The Fermat numbers)는 다음과 같이 표현되는 [[자연수]]의 [[수열]]이다: \[F_n=2^{2^n}+1.\]
여기서 \(n=0,1,2,\cdots\)이다. 페르마 수는 처음 다섯 개\((n=0,1,2,3,4)\)의 수가 모두 [[소수(자연수)|소수]]이기 때문에, 1637년에 [[피에르 드 페르마]]는 다음과 같은 추측을 하였다.
* 페르마 수는 모두 소수이다.
하지만 1732년에 [[레온하르트 오일러]]가 \(F_5\)가 [[합성수]]임을 밝혀냈다. 참고로 \(F_5=4294967297=641×6700417\)이다. 그 후로, 5이후의 \(n\)에 대하여 많은 페르마 수를 구해봤지만, 2013년 현재까지 소수인 것은 단 하나도 발견되지 않았다. 그래서 페르마 수에 대해서 다음 추측이 유력하게 되었다.
* 5보다 큰 모든 \(n\)에 대해서 페르마 수는 모두 합성수이다.
페르마 수는 모두 소수일 것이라는 추측을 완전히 뒤집어버린 것이다. 물론 아직 증명되지는 않았다.

== 같이 보기 ==
* [[메르센 수]]

[[분류:수학]]
[[분류:수론]]

집합

2013-10-09T05:05:11Z

ProtArie:

[[수학]]에서 '''집합'''(set)은 어떤 조건에 의해 결정되는 요소를 순서와 무관하게 모아 놓은 모임이다. 이때, 모인 요소들을 그 집합의 원소라고 부른다. 수학적으로 어떤 모임이 집합이라면, 그것은 다음 두 조건을 만족한다.
# 어떤 원소를 선택하면, 그것은 집합에 속해있거나 속해있지 않다.
# 어떤 두 원소를 선택하면, 그것들은 서로 같거나 같지 않다.
집합을 다루는 수학의 학문을 [[집합론]]이라고 한다.

== 관련 기호 ==
* <math>x</math>가 <math>X</math>의 원소이다. <math>x \in X.</math>
* <math>X</math>가 <math>Y</math>의 [[부분집합]]이다. <math>X \subset Y.</math>
* 두 원소 <math>x, y</math>가 서로 같다. <math>x=y.</math>
* 두 집합 <math>X, Y</math>가 서로 같다. <math>X=Y.</math>
* <math>X, Y</math>의 [[합집합]]. <math>X \cup Y.</math>
* <math>X, Y</math>의 [[교집합]]. <math>X \cap Y.</math>
* <math>X, Y</math>의 [[차집합]]. <math>X-Y.</math>
* <math>X</math>의 [[여집합]]. <math>X^C.</math>
* <math>X</math>의 [[멱집합]]. <math>\mathcal{P}(X).</math>

== 집합의 표현 ==
집합을 표현하는 방법에는 '''원소나열법'''과 '''조건제시법'''이 있다.

=== 원소나열법 ===
말 그대로 원소를 직접 나열하여 집합을 표현하는 방법이다.
* <math>A=\{ a,\ b,\ c \},\ B=\{ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \cdots \}.</math>

=== 조건제시법 ===
어떤 것이 집합의 원소가 되는 것인지 표현하여 집합을 정의하는 방법이다. 표현법은 사람마다 다르지만, 최대한 간략하게 표현하려는 노력이 보인다.
* 바(|)를 이용한 표현.
** <math>A=\{x|x=2n,\ n \in \mathbb{N} \}.</math>
** <math>B=\{y|y<9,\ y \in \mathbb{Q} \}.</math>
* 콜론(:)을 이용한 표현.
** <math>A=\{x:x=2n,\ n \in \mathbb{N} \}.</math>
** <math>B=\{y:y<9,\ y \in \mathbb{Q} \}.</math>
* 다른 표현들
** <math>A=\{x|x=2n,\ n =1,\ 2,\ 3,\ \cdots \}.</math>
** <math>B=\{y \in \mathbb{Q}:y<9 \}.</math>

== 같이 보기 ==
* [[기수]] (cardinal)
* [[유한집합]] (finite set)
* [[무한집합]] (infiniteset)
* [[부분집합]] (subset)
* [[합집합]] (union)
* [[교집합]] (intersection)
* [[차집합]] (difference)
* [[여집합]] (complement)
* [[서로소(집합)|서로소]] (disjoint)

[[분류:수학]]
[[분류:집합론]]

직선

2013-10-09T05:04:49Z

ProtArie:

'''직선'''은 무한히 길고 곧은 넓이가 없는 기하학적 요소이다. [[기하학 기초론]]에서는 직선은 [[무정의 용어]]로 사용한다.

== 평면(2차원) ==
=== 직선과 점 ===
* 두 [[점]]을 동시에 지나는 직선은 유일하다.
* 어떤 점은 어떤 직선에 포함되거나 그 직선 밖에 있다.

=== 직선과 직선 ===
* 어떤 두 직선은 다음 중 한 가지 관계에 있다.
*# 서로 같다.
*# 서로 한 점에서 만난다. 두 직선이 만나는 유일한 점을 "교점"이라고 한다.
*# 서로 평행하다.

== 공간(3차원) ==
=== 직선과 직선 ===
* 어떤 두 직선은 다음 중 한 가지 관계에 있다.
*# 서로 같다.
*# 서로 한 점에서 만난다.
*# 서로 평행하다.
*# 서로 만나지 않으면서 평행하지도 않다. (꼬인 위치에 있다.)

== 직선의 식 ==
=== 직교 좌표계 ===
어떤 직교 좌표계 위에서 직선은 몇개의 [[일차식]]의 [[연립방정식]] 형태로 표현될 수 있다. 직선이 포함된 공간의 [[차원]]이 <math>n</math>차원 이라면, 직선을 표현하기 위해서 적어도 <math>n-1</math>개의 일차식이 필요하다. 직선은 이렇게 표현된 일차 연립방정식의 해공간이며, 두 개의 직선이 만나는 점(또는 직선)은 각각을 표현하는 모든 식으로 만든 연립방정식의 해공간이다.
==== 평면 직교 좌표계 ====
평면 직교 좌표계에서 임의의 직선은 다음과 같이 하나의 [[일차식]]으로 표현될 수 있다.
: <math> ax + by + c = 0 </math>
이 직선은 [[기울기]]가 <math>m = -\frac{a}{b}</math>인 직선이다.

==== 공간 직교 좌표계 ====
공간 직교 좌표계에서 임의의 직선은 다음과 같은 [[방정식]]으로 표현될 수 있다.
: <math>\frac{x-a}{p} = \frac{y-b}{q} = \frac{z-c}{r}</math>
(단, 분모가 [[0]]이 되면, <math>(분자) = 0</math>)

이 직선의 방향[[벡터]] <math>\mathbf{d} = (p,\ q,\ r)</math>이고, 점 <math>(a,\ b,\ c)</math>를 지난다. 이 방법 외에도 두 개의 [[일차식]]을 연립하는 방법으로 표현할 수도 있다.

== 부분공간 ==
원점을 지나는 직선은 그 직선을 표함하는 공간의 부분공간이 되고, [[차원]]은 [[1]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[선분]]
* [[반직선]]
* [[수직선]]

{{기하학}}

[[분류:수학]]
[[분류:기하학]]

정칙 공간

2013-10-09T05:04:29Z

ProtArie:

어떤 [[위상공간]] <math>X</math>가 '''정칙 공간'''(ragular space)이라는 것은, 다음을 만족한다는 것이다.
* <math>X</math>의 [[닫힌 집합|닫힌 부분집합]] \( E \)와 \( E \)에 포함되지 않는 임의의 점 <math>x</math>에 대하여 다음을 만족하는 어떤 두개의 [[열린 집합]] <math>U, V \subset X</math>가 있다는 것이다.
*# <math>x \in U.</math>
*# <math>E \subset V.</math>
*# <math>U \cap V=</math>'''∅'''.
정칙 공간이면서 동시에 [[T1공간|<math>T_1</math>공간]]인 공간을 '''<math>T_3</math>공간'''(<math>T_3</math>-space)이라고 한다.

== 성질 ==
* 정칙 공간의 [[부분공간]]은 정칙 공간이다.
* <math>T_3</math>공간은 [[하우스도르프 공간]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[정규 공간]](normal space)
* [[컴팩트 공간]](compact space)

[[분류:수학]]
[[분류:위상수학]]

자연수

2013-10-09T05:04:05Z

ProtArie: /* 순서수 공리 */

'''자연수'''(自然數)는 {[[1]], [[2]], [[3]], …}으로 구성된 수의 집합으로, [[가산 집합]]이다. 기본적으로 자연수는 [[0]]을 포함하지 않는 양의 [[정수]]의 집합이지만, 편의상 [[0]]을 포함하기도 한다. 일반적으로 자연수의 집합을 표현할 때에는 \(\mathbb{N}\)을 사용한다.

== 수학 ==
* 자연수는 [[1]], [[소수(자연수)|소수]] 그리고 [[합성수]]로 이루어져 있다.
* 자연수는 [[덧셈]]과 [[곱셈]]에 대해서 [[닫혀있다]].
* 자연수는 [[정수]]들의 [[집합]]에 속해있다.
* [[2]]로 나누어 떨어지는 자연수를 [[짝수]]라고 한다. 그렇지 않으면 [[홀수]]라고 한다.
* [[제곱근]]이 [[정수]]인 자연수를 [[사각수]]<ref>또는 '''완전제곱수''', 줄여서 '''제곱수'''라고도 한다.</ref>라고 한다.

== 엄밀한 정의 ==
자연수는 인간이 수를 셀 수 있었을 때부터 존재하였다고 생각해도 될만큼 오래되었다고 할 수 있다. 그러나 수학적으로 정의될 필요성이 제기된 것은 19세기로, 최근의 일이다.

=== 페아노의 공리 ===
1889년, [[주세페 페아노]]는 자연수에 대한 구체적인 [[공리]]를 발표하였다. 이 공리로부터 자연수의 모든 성질이 증명될 수 있다.
# 1은 자연수이다.<ref>여기서 1은 [[무정의 용어]]이다.</ref>
# \(n\)이 자연수라면, 그 다음에 오는 수 \(n'\)가 오직 하나 존재한다.
# \(n'=1\)인 자연수는 없다.
# \(n'=m'\)라면 \(n=m\)이다.
# \(P\)가 다음 두 조건을 만족시키는 자연수의 부분집합이라면, \(P\)는 모든 자연수의 집합이다.<ref>자연수라면 이것을 만족해야 한다는 뜻이다. 이 공리는 [[수학적 귀납법]]을 보장해준다.</ref>
#* 1이 \(P\)에 속한다.
#* \(k\)가 \(P\)에 속하면 \(k'\)도 P에 속한다.

=== 순서수 공리 ===
[[순서수]]를 이용해서 자연수를 다음과 같이 귀납적으로 정의할 수 있다. 이 정의에서는 자연수에 [[0]]을 포함한다.<ref>페아노의 공리도 조금만 변형하면 0을 포함하여 정의할 수 있다.</ref>
# \(0=\{\,\}\)이다.
# 모든 \(x\)에 대하여 그 다음 순서수 \(x'=x\cup \{x\}\)이다.
이 공리계에서 각각의 자연수는 \(1=0'=0\cup \{0\}=\{0\}\), \(2=1'=1\cup \{1\}=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}\)처럼 정의된다.<ref>각각의 자연수가 귀납적으로 정의된다.</ref> 자연수의 집합은 이들의 집합인 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[수론]]
* [[소수(자연수)|소수]]
* [[합성수]]
* [[수학적 귀납법 ]]

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수학]]
[[분류:수]]
[[분류:자연수]]

자연수

2013-10-09T05:03:54Z

ProtArie: /* 순서수 공리 */

'''자연수'''(自然數)는 {[[1]], [[2]], [[3]], …}으로 구성된 수의 집합으로, [[가산 집합]]이다. 기본적으로 자연수는 [[0]]을 포함하지 않는 양의 [[정수]]의 집합이지만, 편의상 [[0]]을 포함하기도 한다. 일반적으로 자연수의 집합을 표현할 때에는 \(\mathbb{N}\)을 사용한다.

== 수학 ==
* 자연수는 [[1]], [[소수(자연수)|소수]] 그리고 [[합성수]]로 이루어져 있다.
* 자연수는 [[덧셈]]과 [[곱셈]]에 대해서 [[닫혀있다]].
* 자연수는 [[정수]]들의 [[집합]]에 속해있다.
* [[2]]로 나누어 떨어지는 자연수를 [[짝수]]라고 한다. 그렇지 않으면 [[홀수]]라고 한다.
* [[제곱근]]이 [[정수]]인 자연수를 [[사각수]]<ref>또는 '''완전제곱수''', 줄여서 '''제곱수'''라고도 한다.</ref>라고 한다.

== 엄밀한 정의 ==
자연수는 인간이 수를 셀 수 있었을 때부터 존재하였다고 생각해도 될만큼 오래되었다고 할 수 있다. 그러나 수학적으로 정의될 필요성이 제기된 것은 19세기로, 최근의 일이다.

=== 페아노의 공리 ===
1889년, [[주세페 페아노]]는 자연수에 대한 구체적인 [[공리]]를 발표하였다. 이 공리로부터 자연수의 모든 성질이 증명될 수 있다.
# 1은 자연수이다.<ref>여기서 1은 [[무정의 용어]]이다.</ref>
# \(n\)이 자연수라면, 그 다음에 오는 수 \(n'\)가 오직 하나 존재한다.
# \(n'=1\)인 자연수는 없다.
# \(n'=m'\)라면 \(n=m\)이다.
# \(P\)가 다음 두 조건을 만족시키는 자연수의 부분집합이라면, \(P\)는 모든 자연수의 집합이다.<ref>자연수라면 이것을 만족해야 한다는 뜻이다. 이 공리는 [[수학적 귀납법]]을 보장해준다.</ref>
#* 1이 \(P\)에 속한다.
#* \(k\)가 \(P\)에 속하면 \(k'\)도 P에 속한다.

=== 순서수 공리 ===
[[순서수]]를 이용해서 자연수를 다음과 같이 귀납적으로 정의할 수 있다. 이 정의에서는 자연수에 [[0]]을 포함한다.<ref>페아노의 공리도 조금만 변형하면 0을 포함하여 정의할 수 있다.</ref>
# \(0=\{,\}\}\)이다.
# 모든 \(x\)에 대하여 그 다음 순서수 \(x'=x\cup \{x\}\)이다.
이 공리계에서 각각의 자연수는 \(1=0'=0\cup \{0\}=\{0\}\), \(2=1'=1\cup \{1\}=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}\)처럼 정의된다.<ref>각각의 자연수가 귀납적으로 정의된다.</ref> 자연수의 집합은 이들의 집합인 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[수론]]
* [[소수(자연수)|소수]]
* [[합성수]]
* [[수학적 귀납법 ]]

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수학]]
[[분류:수]]
[[분류:자연수]]

자연수

2013-10-09T05:03:34Z

ProtArie: 새 문서: '''자연수'''(自然數)는 {1, 2, 3, …}으로 구성된 수의 집합으로, 가산 집합이다. 기본적으로 자연수는 0을 포함하지 않는 양의...

'''자연수'''(自然數)는 {[[1]], [[2]], [[3]], …}으로 구성된 수의 집합으로, [[가산 집합]]이다. 기본적으로 자연수는 [[0]]을 포함하지 않는 양의 [[정수]]의 집합이지만, 편의상 [[0]]을 포함하기도 한다. 일반적으로 자연수의 집합을 표현할 때에는 \(\mathbb{N}\)을 사용한다.

== 수학 ==
* 자연수는 [[1]], [[소수(자연수)|소수]] 그리고 [[합성수]]로 이루어져 있다.
* 자연수는 [[덧셈]]과 [[곱셈]]에 대해서 [[닫혀있다]].
* 자연수는 [[정수]]들의 [[집합]]에 속해있다.
* [[2]]로 나누어 떨어지는 자연수를 [[짝수]]라고 한다. 그렇지 않으면 [[홀수]]라고 한다.
* [[제곱근]]이 [[정수]]인 자연수를 [[사각수]]<ref>또는 '''완전제곱수''', 줄여서 '''제곱수'''라고도 한다.</ref>라고 한다.

== 엄밀한 정의 ==
자연수는 인간이 수를 셀 수 있었을 때부터 존재하였다고 생각해도 될만큼 오래되었다고 할 수 있다. 그러나 수학적으로 정의될 필요성이 제기된 것은 19세기로, 최근의 일이다.

=== 페아노의 공리 ===
1889년, [[주세페 페아노]]는 자연수에 대한 구체적인 [[공리]]를 발표하였다. 이 공리로부터 자연수의 모든 성질이 증명될 수 있다.
# 1은 자연수이다.<ref>여기서 1은 [[무정의 용어]]이다.</ref>
# \(n\)이 자연수라면, 그 다음에 오는 수 \(n'\)가 오직 하나 존재한다.
# \(n'=1\)인 자연수는 없다.
# \(n'=m'\)라면 \(n=m\)이다.
# \(P\)가 다음 두 조건을 만족시키는 자연수의 부분집합이라면, \(P\)는 모든 자연수의 집합이다.<ref>자연수라면 이것을 만족해야 한다는 뜻이다. 이 공리는 [[수학적 귀납법]]을 보장해준다.</ref>
#* 1이 \(P\)에 속한다.
#* \(k\)가 \(P\)에 속하면 \(k'\)도 P에 속한다.

=== 순서수 공리 ===
[[순서수]]를 이용해서 자연수를 다음과 같이 귀납적으로 정의할 수 있다. 이 정의에서는 자연수에 [[0]]을 포함한다.<ref>페아노의 공리도 조금만 변형하면 0을 포함하여 정의할 수 있다.</ref>
# \(0=\{,\}}\)이다.
# 모든 \(x\)에 대하여 그 다음 순서수 \(x'=x\cup \{x\}\)이다.
이 공리계에서 각각의 자연수는 \(1=0'=0\cup \{0\}=\{0\}\), \(2=1'=1\cup \{1\}=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}\)처럼 정의된다.<ref>각각의 자연수가 귀납적으로 정의된다.</ref> 자연수의 집합은 이들의 집합인 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[수론]]
* [[소수(자연수)|소수]]
* [[합성수]]
* [[수학적 귀납법 ]]

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수학]]
[[분류:수]]
[[분류:자연수]]

유한집합

2013-10-09T04:53:44Z

ProtArie:

유클리드호제법

2013-09-24T10:10:35Z

ProtArie: 유클리드 호제법 문서로 넘겨주기

#넘겨주기[[유클리드 호제법]]

유클리드 호제법

2013-09-24T10:07:35Z

ProtArie: 새 문서: '''유클리드 호제법'''(Euclidean algorithm)이란 주어진 두 수의 최대공약수를 구하는 알고리즘으로, 다음 성질에 기초한다: \[a=bq+r \quad\Lon...

'''유클리드 호제법'''(Euclidean algorithm)이란 주어진 두 수의 [[최대공약수]]를 구하는 [[알고리즘]]으로, 다음 성질에 기초한다: \[a=bq+r \quad\Longrightarrow\quad (a,b)=(b,r).\]

여기서 \((a,b)\)는 \(a\)와 \(b\)의 최대공약수를 뜻한다. 다시 말해, 두 수의 최대공약수는 두 수중 큰 수를 피제수로 하고 작은 수를 제수로 하여 구한 나머지와, 제수의 최대공약수와 같다는 것이다.

== 증명 ==
\(a=bq+r\)이라고 하자. 만약 \((a,b)=d\)이고, \(a=md\), \(b=nd\)라고 두면, \(md=ndq+r\)이라고 할 수 있다. 즉, \(r=md−ndq=(m−nq)d\)가 되어 \(d\)는 \(r\)의 [[약수]]이다.

이제 \(d=(b,r)\)임을 증명하자. \(d\)는 \(b\)와 \(r\)의 공약수이고 \(r\)은 \(a\)를 \(b=nd\)로 나눈 나머지였으므로, 어떤 [[자연수]] \(k<n\)가 존재하여 \((b,r)=kd\)이다.

다시 쓰면, \(n=n′k\)를 만족하는 \(n′\)에 의해 \(b=n′kd\)이고, 적절한 자연수 \(t\)에 의해 \(r=(m−nq)d=tkd\)이다. 이것을 처음 식에 넣으면 다음을 얻는다. \[a=n′kdq+tkd=(n′q+t)kd.\] 즉, \(a\)또한 \(kd\)의 배수가 되므로, \((a,b)=d\)이라는 가정에 의해 \(k=1\)이다. 그러므로 \((b,r)=d\)이다.

== 유클리드 호제법의 사용 ==
예를 들어, 252와 198의 최대공약수를 구해보자. \[\begin{eqnarray*} (252,198) &=& (198,54) & \leftarrow 252=198⋅1+54. \\
&=& (54,36) & \leftarrow 198=54⋅3+36. \\
&=& (36,18) & \leftarrow 54=36⋅1+18. \\
&=& (18,0) & \leftarrow 36=18⋅2+0. \\
&=& 18. & \end{eqnarray*}\] 위처럼 두 수중 큰 수를 작은 수로 나눈 것의 나머지를 반복적으로 구하는 것으로 두 수의 최대공약수를 쉽게 구할 수 있다.

== 프로그래밍 코드 ==
=== 프롤로그(Prolog) 코드 ===
다음은 [[프롤로그]]로 표현한 유클리드 호제법이다.

<font face="Fixedsys">gcd(X,0,R) :- R is X, !.<br/>
gcd(X,Y,Rr) :- R is X mod Y, gcd(Y,R,Rr).</font>

위 코드를 컨설트하고 '''gcd('수', '수', R).'''을 명령하면 '''R'''에 두 수의 최대공약수를 출력해준다. 단, 앞쪽에 있는 수가 더 커야한다.

== 같이 보기 ==
* [[유클리드]](Euclid)
* [[나눗셈]]

[[분류:수학]]
[[분류:수론]]

위수(수론)

2013-08-30T10:44:10Z

ProtArie: 새 문서: {{다른뜻|위수}} 수론에서 어떤 정수 \(a\)의 \(n\)을 법으로 한 '''위수'''(the order of \(a\) modulo \(n\)), \(\operatorname{ord}_n a\)란 \(a^k \equiv 1\; ...

{{다른뜻|위수}}

[[수론]]에서 어떤 [[정수]] \(a\)의 \(n\)을 법으로 한 '''위수'''(the order of \(a\) modulo \(n\)), \(\operatorname{ord}_n a\)란 \(a^k \equiv 1\; (\operatorname{mod} n)\)을 만족하는 최소의 양의 정수 \(k\)이다. 예를 들어, \(2^1\not\equiv 1\), \(2^2\not\equiv 1\), \(2^3\equiv 1\) \((\operatorname{mod} 7)\)이므로, \(\operatorname{ord}_7 2=3\)이다.

== 성질 및 정리 ==
# \(\operatorname{ord}_n a \le \phi(n)\).<ref>\(\operatorname{ord}_n a = \phi(n)\)인 경우에, \(a\)를 \(n\)의 [[원시근]](primitive root)이라고 한다.</ref>
#* 사실, \(\operatorname{ord}_n a\)는 \(\phi(n)\)의 [[약수]]이다.
# 임의의 [[정수]] \(k\)에 대하여, \(a^{k(\operatorname{ord}_n a)} \equiv 1\) (\(\operatorname{mod} n)\).
#* 역으로, \(a^x \equiv 1\) (\(\operatorname{mod} n)\)라면, 어떤 정수 \(k\)가 있어서 \(x=k(\operatorname{ord}_n a)\)이다.
# \(a^i \equiv a^j\) (\(\operatorname{mod} n)\) \(\iff\) \(i \equiv j\) (\(\operatorname{mod} \operatorname{ord}_n a)\).

== 같이 보기 ==
* [[오일러 피 함수]]
* [[원시근]]
* [[합동(수론)|합동]]

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수학]]
[[분류:수론]]

위수

2013-08-30T10:34:00Z

ProtArie: 새 문서: {{동음이의}} * 수론에서 어떤 정수 \(a\)의 \(n\)을 법으로 한 위수(order), \(\operatorname{ord}_n a\)는 \(a^k \equiv 1\; (\operatorname{mod}n)\)...

{{동음이의}}
* 수론에서 어떤 정수 \(a\)의 \(n\)을 법으로 한 [[위수(수론)|위수]](order), \(\operatorname{ord}_n a\)는 \(a^k \equiv 1\; (\operatorname{mod}n)\)을 만족하는 최소의 양의 정수 \(k\)이다.
* 집합론에서 어떤 집합 \(A\)의 '''위수'''(order) 또는 [[기수]](cardinal)란 그 집합의 원소의 개수이다.
* 대수학에서 어떤 군 \((G,*)\)의 원소 \(g\)의 [[위수(대수학)|위수]](order), \(|g|\)는 \(g^n=e\)를 만족하는 최소의 양의 정수 \(n\)이다. 여기서 \(e\)는 연산 \(*\)에 대한 항등원이다.

위상동형사상

2013-08-30T10:30:22Z

ProtArie:

{{다른뜻|동형사상}}
[[위상공간]] <math>X,\ Y</math>에 대하여 어떤 함수 <math>f:X \longrightarrow Y</math>가 다음 [[3]]가지 성질을 만족하면, '''위상동형사상'''(homeomorphism)이라고 한다.
# <math>f</math>가 [[연속함수|연속]]이다.
# <math>f</math>가 [[전단사 함수]]이다.
# [[역함수|<math>f^{-1}</math>]]가 연속이다.

이때, <math>X</math>와 <math>Y</math>를 서로 '''위상동형'''(homeomorphic)이라고 하며, 기호로는 <math>X \cong Y</math>로 표시한다.

== 위상적 성질 ==
위상동형사상에 의해서 보존되는 [[위상공간]]의 성질을 '''위상적 성질'''(topological property)이라고 한다.
*예: [[연결공간|연결성]](connectedness), [[컴팩트 공간|컴팩트성]](compactness)

== 같이 보기 ==
* [[위상 공간]]
* [[연속함수]]
* [[열린 집합]]

[[분류:수학]]
[[분류:위상수학]]

컴팩트 공간

2013-08-30T10:29:57Z

ProtArie:

어떤 [[위상공간]] <math>X</math>가 '''컴팩트'''(compact) 또는 '''옹골'''이라는 것은, 다음을 만족한다는 것이다.
* <math>X</math>의 모든 [[열린 덮개]](open cover)가 유한 부분덮개(finite subcover)를 가진다.

== 성질 ==
<math>X, Y</math>가 위상공간이고, <math>f:X \rightarrow Y</math>가 [[연속함수]]라면 다음이 성립한다.
# <math>K</math>가 <math>X</math>의 컴팩트 [[부분공간]]이라면, <math>f(K)</math>는 <math>Y</math>의 컴팩트 부분공간이다.
# <math>X</math>가 컴팩트라는 것은 다음과 각각 동치이다.
#* <math>X</math>는 [[점렬 컴팩트 공간|점렬 컴팩트]](sequentially compact)이다.
#* <math>X</math>는 [[완비성|완비적]](complete)이고, [[완전 유계 공간|완전 유계]](totally bounded)이다.

== 유클리드 공간 ==
[[유클리드 공간]]의 [[부분집합]] <math>E</math>가 컴팩트라는 것은 <math>E</math>가 [[닫힌 집합|닫혀있고]](closed), [[유계]](bounded)라는 것이다. 이 정리를 [[하이네-보렐 정리]]라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[점렬 컴팩트 공간]](sequentially compact space)
* [[국소 컴팩트 공간]](locally compact space)
* [[하우스도르프 공간]](Hausdorff space)
* [[하이네-보렐 정리]](Heine-Borel thorem)

[[분류:수학]]
[[분류:위상수학]]

연결공간

2013-08-30T10:29:29Z

ProtArie: 연결 공간 문서로 넘겨주기

#넘겨주기[[연결 공간]]

위상공간

2013-08-30T10:29:17Z

ProtArie:

'''위상공간'''(topological space)은 어떤 [[집합]]의 [[열린 집합]]이 무엇인지 알려주는 [[집합족]]인 '''위상'''(topology)을 부여한 공간이다.

== 정의 ==
<math>X</math>를 [[집합]]이라고 하자. 그럼 다음 [[3]]가지 성질을 만족하는 [[집합족]] <math>\mathcal{T}</math>를 <math>X</math>의 위상이라고 부른다.
# [[공집합|'''∅''']]<math>,\ X \in \mathcal{T}.</math>
# <math>U_{\alpha} \in \mathcal{T},\ \alpha \in A \Rightarrow \cup _{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \mathcal{T}.</math>
# <math>U_1,\ \cdots ,\ U_n \in \mathcal{T} \Rightarrow U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \mathcal{T}.</math>

집합 <math>X</math>에 위상 <math>\mathcal{T}</math>가 주어진 위상공간을 <math>(X, \mathcal{T})</math>로 표현한다.

=== 위상공간에서 열린 집합 ===
집합족 <math>\mathcal{T}</math>의 원소들을 위상공간 <math>(X, \mathcal{T})</math>의 [[열린 집합]]이라고 한다.

== 위상공간의 예 ==
# [[유클리드 공간]] <math>X = \mathbb{R}^n</math>에 주어진 일반적인 위상공간.
#* <math>\mathcal{T}= \{</math>[[열린 공]]들의 [[합집합]]이 되는 <math>X</math>의 부분집합<math>\}.</math>
# [[밀착위상]](indiscrete topology) <math>(X,\ \mathcal{T})</math>
#* <math>\mathcal{T}= \{</math>'''∅'''<math>,\ X \}.</math>
# [[이상위상]](discrete topology) <math>(X,\ \mathcal{T})</math>
#* <math>\mathcal{T}=</math> [[멱집합|<math>\mathcal{P}(X).</math>]]

== 위상동형사상 ==
{{본문|위상동형사상}}

어떤 함수 <math>f:X \longrightarrow Y</math>가 다음 [[3]]가지 성질을 만족하면, '''위상동형사상'''(homeomorphism)이라고 한다.
# <math>f</math>가 [[연속함수|연속]]이다.
# <math>f</math>가 [[전단사 함수]]이다.
# [[역함수|<math>f^{-1}</math>]]가 연속이다.

=== 위상적 성질 ===
위상동형사상에 의해서 보존되는 위상공간의 성질을 '''위상적 성질'''(topological property)이라고 한다.
*예: [[연결공간|연결성]](connectedness), [[컴팩트 공간|컴팩트성]](compactness)

== 같이 보기 ==
* [[기저(위상수학)|기저]](base)

[[분류:수학]]
[[분류:위상수학]]

원시근

2013-08-30T10:28:48Z

ProtArie: 새 문서: \(\operatorname{ord}_n a\) \(=\) \(\phi(n)\)인 경우에, \(a\)를 \(n\)의 '''원시근'''(primitive root)이라고 한다. \(n\)의 원...

[[위수(수론)|\(\operatorname{ord}_n a\)]] \(=\) [[오일러 피 함수|\(\phi(n)\)]]인 경우에, \(a\)를 \(n\)의 '''원시근'''(primitive root)이라고 한다. \(n\)의 원시근은 \(n\)을 법으로 하여 구분한다. 예를 들어, [[3]]은 [[7]]의 원시근인데, 7을 법으로 하여 3과 [[합동(수론)|합동]]인 -4, [[10]], [[17]] 등의 정수도 7의 원시근이 되며, 이들은 모두 3으로 취급한다.

== 성질 및 정리 ==
* [[자연수]] \(n\)이 원시근을 가진다면, 정확하게 \(\phi(\phi(n))\)개의 합동이 아닌 원시근을 갖는다.
* \(r\)이 \(n\)의 원시근이라면, \(r^u\)이 원시근이라는 것은 [[최대공약수|\((u,ϕ(n))\)]] \(=1\)이라는 것과 동치이다.

== 같이 보기 ==
* [[위수(수론)|위수]]
* [[오일러 피 함수]]
* [[합동(수론)|합동]]

[[분류:수학]]
[[분류:수론]]

소수(자연수)

2013-08-30T10:23:23Z

ProtArie:

{{다른 뜻|소수}}
'''소수'''(素數, primes)는 [[1]]보다 큰 [[자연수]] 중에서 양의 [[약수]]가 [[1]]과 자신밖에 없는 수이다. [[2]]를 제외한 다른 소수는 모두 [[홀수]]이다.

== 판별법 ==
어떤 수가 소수임을 알기 위한 방법으로 [[약수]]의 수를 조사하는 것외에는 수학적으로 특별한 방법이 없다. 왜냐하면 소수의 일반적인 규칙이 알려지지 않았기 때문이다.<ref>어떤 규칙이 있다면 그것을 만족하는지 확인하는 것만으로 알아낼 수 있다.</ref> 가장 기본적인 소수의 판별법은 판별하려는 수보다 작은 모든 자연수로 그 수를 나누어 보는 것이다. 이때 [[1]]이 외에 나누어 떨어지는 수가 없다면, 그 수는 소수이다 하지만 위에 나온 방법은 매우 번거롭기때문에 더 짧은 시간안에 소수임을 판별하기위한 방법이 개발되고 있다. 일반적으로는 다음과 같은 과정을 거쳐서 소수를 판별한다.
# [[2]]가 아닌 [[짝수]]는 소수가 아니다.<ref>짝수는 2로 나누어 떨어지기 때문이다.</ref>
# 판별하려는 수(<math>n</math>이라고 하자.)의 제곱근을 구한다. 이것을 <math>s</math>라고 하자.
# <math>s</math>가 [[정수]]이면 <math>n</math>은 [[사각수|완전제곱수]]이므로 소수가 아니다.
# <math>s</math>가 정수가 아니라면 <math>s</math>보다 작은 모든 소수로 <math>n</math>을 차례대로 나눈다.<ref><math>n</math>보다 작은 수 중에서 무엇이 소수인지는 이미 알고있다고 가정할 수 있다. 만약 모른다면 <math>s</math>보다 작은 모든 수로 나누어 보아야 한다.</ref>
# 도중에 나누어 떨어지는 수가 있다면 <math>n</math>은 소수가 아니다. 나누어 떨어지는 수가 없다면 <math>n</math>은 소수이다.
다음은 위 판별법이 옳음을 증명한 것이다.
:만약 <math>\sqrt{n}</math>보다 큰 소수중에서 <math>n</math>을 나누는 수 <math>p</math>가 있다면, <math> \frac{n}{p} </math>는 <math>\sqrt{n}</math>보다 작은 수이다.
:그러므로 <math> \frac{n}{s} </math>를 [[소인수분해]]하면 반드시 <math>\sqrt{n}</math>보다 작거나 같은 소인수가 존재하게 된다.
:즉, <math>\sqrt{n}</math>보다 작은 소수로 나누어 보는 과정에서 이미 나누어떨어진다.
:이것은 <math>\sqrt{n}</math>보다 작은 수로만 나누어 보면 된다는 뜻이다.

=== 에라토스테네스의 체 ===
'''에라토스테네스의 체'''는 유한한 범위안에 있는 자연수 중에서 소수인 것을 모두 찾아내는 방법이다. 방법은 아주 간단하다.
# 찾고자 하는 범위의 자연수를 모두 나열한다. 1은 제외한다.
# 2를 제외한 2의 [[배수]]를 모두 지운다.
# 남은 수 중에서 가장 작은 수 <math>p</math>를 제외한 <math>p</math>의 배수를 모두 지운다.
이 과정을 거쳐서 남아있는 수는 모두 소수이다.

== 소수의 개수 ==
소수의 개수가 무수히 많다는 것이 증명된 것은 매우 오래전의 일이다. 가장 오래되고 유명한 증명인 [[유클리드]]의 증명은 현대식으로 표현하면 다음과 같다.
:소수의 개수가 유한하다고 가정하고 작은 것부터 각각 <math>p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n</math>이라고 하자.
:자연수 <math>P = p_1 p_2 \cdots p_n + 1</math>이라고 하자.
:소수는 0이 아니므로, <math>P</math>는 가장 큰 소수보다 크다.
:그런데 <math>P</math>를 어떤 소수로 나누어도 나머지가 1이 되므로, <math>P</math>는 소수이어야한다.
:즉, 처음에 주어진 소수들보다 더 큰 소수가 존재하는데, 이것은 모순이다. 이 모순을 해소하려면 소수가 무수히 많아야한다.
이 방법 외에도 많은 수학자들이 여러가지 방법으로 소수의 개수가 무수히 많다는 것을 증명하였다.

== 처음 100개의 소수 ==
[[2]], [[3]], [[5]], [[7]], [[11]], [[13]], [[17]], [[19]], [[23]], [[29]], [[31]], [[37]], [[41]], [[43]], [[47]], [[53]], [[59]], [[61]], [[67]], [[71]], [[73]], [[79]], [[83]], [[89]], [[97]], [[101]], [[103]], [[107]], [[109]], [[113]], [[127]], [[131]], [[137]], [[139]], [[149]], [[151]], [[157]], [[163]], [[167]], [[173]], [[179]], [[181]], [[191]], [[193]], [[197]], [[199]], 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541

== 같이 보기 ==
* [[소인수분해]]
* [[쌍둥이 소수]]

=== 문제 ===
* [[골트바흐의 추측]]
* [[리만 가설]]

=== 특별한 수 ===
* [[메르센 수]]
* [[페르마 수]]

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수학]]
[[분류:정수]]

서로소(정수)

2013-08-30T10:23:03Z

ProtArie:

{{다른뜻|서로소}}
어떤 두 [[정수]]가 '''서로소'''(relatively prime)라는 것은 두 수의 [[최대공약수]]가 [[1]]이라는 뜻이다. 두 정수 \(a,\ b\)가 서로소라는 것을 기호로는 주로 \((a,\ b)=1\)라고 표현한다.<ref>최대공약수가 1이라는 것을 그대로 쓴 것이다.</ref> 아주 드물게 \(a \perp b\)라고 표현하는 경우도 있다.

== 성질 ==
* [[소수(자연수)|소수]]는 자신이 아닌 모든 정수와 서로소이다.

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수학]]
[[분류:수론]]

오일러 피 함수

2013-08-30T10:22:44Z

ProtArie: 새 문서: '''오일러 피 함수'''(Euler's phi function) 또는 '''오일러 파이 함수''' \(\phi(n)\)이란 어떤 자연수 \(n\)보다 작거나 같은 자연수 중에서 \(n\)과 ...

'''오일러 피 함수'''(Euler's phi function) 또는 '''오일러 파이 함수''' \(\phi(n)\)이란 어떤 [[자연수]] \(n\)보다 작거나 같은 자연수 중에서 \(n\)과 [[서로소(정수)|서로소]]인 것의 개수를 나타내는 함수이다. 예를 들어, \(\phi(8)=∣\{1,3,5,7\}∣=4\)이다. 이것을 수식으로 표현하면 다음과 같다: \[ \phi(n)=∣\{a\in \mathbb{N}|1\le a\le n,\;(a,n)=1\}∣.\]

== 성질 ==
\(p\)는 [[소수(자연수)|소수]]라고 하자.
* \(\phi(p)=p−1\).
** 역으로, \(\phi(n)=n−1\)이라면, \(n\)은 소수이다.
* \(\phi(p^a)=p^a−p^{a−1}\).
* \((m,n)=1\)이라면, \(\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)\)이다. (오일러 피 함수는 [[곱셈적 함수]]이다.)
** 이 성질을 이용하면 어떤 자연수 \(n\)의 소인수 분해가 \(n={p_1}^{e_1}{p_2}^{e_2}\cdots{p_k}^{e_k}\)라면, \(\phi(n)\)을 다음과 같이 표현할 수 있다: \[\phi(n)=n\prod_{i=1}^k\left(1−\frac{1}{p_i}\right).\]

== 같이 보기 ==
* [[오일러의 정리]]
* [[곱셈적 함수]]

[[분류:수학]]
[[분류:수론]]

열린 집합

2013-08-30T10:14:37Z

ProtArie:

어떤 집합 <math>X</math>가 '''열린 집합'''(open set)이라는 것은 <math>X</math>안의 각각의 원소 <math>p</math>에 대해서 어떤 [[근방|열린 근방]](open neighborhood) <math>U</math>가 있어서, <math>x \in U \subset X</math>를 만족한다는 것이다.

== 거리 공간 ==
[[거리 공간]] <math>\left(X, d \right)</math>의 [[부분 집합]] <math>U</math>가 열려있다는 것은 <math>U</math>가 [[열린 공]]들의 [[합집합]]이라는 것이다.

== 위상 공간 ==
[[위상 공간]] <math>\left(X, \mathcal{T} \right)</math>의 [[부분 집합]] <math>U</math>가 열려있다는 것은 <math>U \in \mathcal{T}</math>라는 것이다.

== 성질 ==
* 임의의 개수의 열린 집합들의 [[합집합]]은 여전히 열린 집합이다.
* 유한개의 열린 집합들의 [[교집합]]은 여전히 열린 집합이다.<ref>유한개가 아닌 개수의 열린 집합들의 교집합은 열려있지 않을 수도 있다.</ref>
* 열린 집합의 [[내부(위상수학)|내부]](interior)는 그 자신이다.

== 같이 보기 ==
* [[닫힌 집합]](closed set)
* [[내부(위상수학)|내부]](interior)
* [[닫힘(위상수학)|닫힘]](closure)
* [[경계(위상수학)|경계]](boundary)

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수학]]
[[분류:위상수학]]

연결 공간

2013-08-30T10:14:12Z

ProtArie:

[[위상수학]]에서 '''연결 공간'''(connected space)이란, 연결되지 않은 공간(disconnected space)의 부정이다. 다시 말하자면, 일단 연결되지 않은 공간을 정의해야 한다. 그 이유는 정의하는 방법으로부터 알 수 있는데, 쉽게 말해서 연결 공간과 연결되지 않은 공간을 동시에 정의하여 사용하려면 추가적인 노력이 필요하다.

== 정의 ==
어떤 [[위상 공간]] \(X\)가 연결되지 않은 공간이라는 것은 두 개의 [[공집합]]이 아닌 열린 [[부분 공간]] \(U\)와 \(V\)가 존재하여 다음을 만족한다는 것이다.
# \(U\cup V=X\).
# \(U\cap V=\) [[공집합|∅]].
다시 말하자면, 전체 공간이 두 개의 작은 공간으로 나뉜다는 것이다.

어떤 [[위상 공간]]이 연결되어 있지 않은 공간이 아니라면<ref>정말 번거로운 표현이다.</ref>, 그 공간은 연결 공간이라고 한다.

== 다른 표현 ==
적절한 [[필요충분조건]]에 의하여 연결성(connectedness)을 다음과 같이 표현할 수 있다.
* \(X\)가 연결되지 않은 공간이다. \(\iff\) 어떤 [[열리고 닫힌 집합|열리고 닫힌]] 부분 집합(clopen set)<ref>열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합이라는 뜻이다. 수학에서는 이런 게 가능하다!</ref>이 있어서, [[공집합]]도 아니고, \(X\)도 아니다.
* \(X\)가 연결 공간이다. \(\iff\) \(X\)의 모든 열리고 닫힌 부분 집합은 공집합이거나 \(X\)이다.
위 필요충분조건들을 정의로써 사용하려면, '''연결 공간이 아니면서 연결되지 않은 공간이 아닌 공간'''<ref>정의하는 방법에 따라서 이런 것이 존재할 수도 있다. 예를 들어, 열린 집합이 아니면서 닫힌 집합이 아닌 집합은 존재한다.</ref>이 존재하지 않음을 추가로 증명해야 하기 때문에, 번거로움을 피하기 위해서 비교적 정의하기 쉬운 연결되지 않은 공간을 정의하고 연결 공간은 그것의 부정으로 생각하는 것이다.

== 성질 ==
* 연결 공간의 [[부분 공간]]은 그 [[상대 위상]]에 있어서 연결 공간이다.

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수학]]
[[분류:위상수학]]

연결 공간

2013-08-30T10:13:54Z

ProtArie: 새 문서: 위상수학에서 '''연결 공간'''(connected space)이란, 연결되지 않은 공간(disconnected space)의 부정이다. 다시 말하자면, 일단 연결되지 않은 공...

배수

2013-08-30T10:07:39Z

ProtArie: 약수와 배수 문서로 넘겨주기

#넘겨주기[[약수와 배수]]

약수

2013-08-30T10:07:27Z

ProtArie: 약수와 배수 문서로 넘겨주기

#넘겨주기[[약수와 배수]]

약수와 배수

2013-08-30T10:07:12Z

ProtArie:

{{다른뜻|약수(동음이의)}}
[[수론]]에서 <math>a</math>가 <math>b</math>의 '''약수'''(divisor)라는 것은 <math>a</math>로 <math>b</math>를 나누면 나머지가 [[0]]이 된다는 것을 뜻한다. 이때 <math>b</math>는 <math>a</math>의 '''배수'''(multiple)라고 한다. 이것을 기호로는 <math>a|b</math>라고 표시하며, "<math>a</math>는 <math>b</math>의 약수이다", "<math>a</math>가 <math>b</math>를 나눈다", "<math>b</math>는 <math>a</math>의 배수이다", 또는 "<math>b</math>는 <math>a</math>로 나누어 떨어진다"라고 읽는다. 약수와 배수는 일반적으로 [[음수]]일 수도 있는데, '''양의 약수''' 또는 '''음의 약수'''처럼 혼동을 피해서 말하기도 한다. 일반적으로, [[사람]]들은 약수를 생각할 때 양의 약수만을 생각한다.

어떤 [[0]]이 아닌 [[정수]] <math>n</math>의 약수들 중에서 <math>1,\ -1,\ n,\ -n</math>은 당연히 <math>n</math>의 약수이므로 '''자명한 약수'''라고 하며, 자기 자신인 <math>n</math>을 제외한 약수들을 '''진약수'''라고 한다. 양의 진약수가 [[1]]밖에 없는 [[자연수]]를 [[소수(자연수)|소수]]라고 한다.

또한 <math>-n, n</math>은 당연히 <math>n</math>의 배수이며, [[0]]에 어떤 수를 곱하든 0이므로, 0은 모든 수의 배수이다.

== 성질 ==
* [[0]]은 모든 [[정수]]의 배수이다.<ref>임의의 정수가 0의 약수라는 것과 동치이다.</ref>
* [[1]]과 [[-1]]은 모든 [[정수]]의 약수이다.
* <math>a|a</math>.
* <math>a|b,\ b|c \Rightarrow a|c</math>.
* <math>a|b,\ a|c \Rightarrow a|(b+c)</math>.
* 어떤 [[자연수]] <math>n</math>의 [[소인수 분해]]가 다음과 같다고 하자.
: <math>n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}</math>
그러면, <math>n</math>의 양의 약수의 개수 <math>d(n)</math>은 다음과 같다.
: <math>d(n) = (e_1 + 1) (e_2 + 1) \cdots (e_k + 1)</math>
또한, <math>n</math>의 양의 약수의 합 <math>\sigma(n)</math>은 다음과 같다.
: <math>\sigma(n) = \prod_{i=1}^{k} \frac{p_{i}^{e_i + 1}-1}{p_{i}-1}</math>

== 같이 보기 ==
* [[공약수]]
* [[공배수]]
* [[오일러 피 함수]](Euler's phi function, <math>\phi (n)</math>)
* [[합동(수론)|합동]](congruence relation)

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수학]]
[[분류:수론]]

실수

2013-08-29T06:00:22Z

ProtArie:

{{다른뜻}}

'''실수'''(實數, real numbers)는 [[수]]의 [[집합]] 중 하나이다. 실수 집합은 ①[[완비성|완비되어 있고]](complete), ②[[순서 공간|순서가 있는]](ordered) [[체(수학)|체]](field)로<ref>순서완비체(complete ordered field)라고 하며, 순서완비체는 동형적으로 유일하게 실수뿐이다.</ref>, 우리가 살고 있는 이 [[우주]]에서 유일하다. 실수의 집합은 흔히 <math>\mathbb{R}</math>로 표기한다.

== 정의 ==
[[유리수]]로 이루어진 모든 수렴하는 [[수열]]의 집합을 생각하자. 그 수열들 중에서 극한값이 같은 것끼리 모으는 [[분할]]을 생각하면, 각각의 분할을 하나의 수(그 분할 안에 있는 수열들의 극한값)에 대응시킬 수 있다. 이렇게 만든 수의 집합이 '''실수'''이다.

== 성질 ==
* 실수 집합 안에 있는 임의의 [[코시 수열]]은 실수로 수렴한다.<ref>실수는 유리수 수열들의 극한값의 집합이지만, 임의의 실수로 수렴하는 수열을 만들어도 그 극한값이 실수가 된다.</ref>([[완비성]])
* 실수는 일반적인 [[덧셈]]과 [[곱셈]]에 대해서 [[체(수학)|체]]이다.
* 위로 [[유계]]인 실수의 [[부분집합]]은 [[최소상계]]<ref>또는 상한이라고도 한다.</ref>를 가진다. (최소상계 공리)
* 실수의 개수는 [[자연수]]의 개수보다 훨씬 많다([[비가산 집합]]). 정확하게는 자연수 집합의 모든 부분집합의 개수만큼 많다. 이것을 일반적인 표현 방식으로 쓰면 다음과 같다.
: <math>\left| \mathbb{R} \right| = \left| \mathcal{P}(\mathbb{N}) \right| = 2^{\aleph_0} = \aleph_1</math>
* 실수에 일반적인 [[위상 공간|위상]](usual topology)을 주면, 실수 공간은 [[제2가산공간]](second countable space)이다.
: [간략한 증명] 실수에 위상을 준 위상 공간 <math>\left( \mathbb{R},\ \mathcal{T} \right)</math>를 일반적인 거리 위상(metric topology)을 갖는 위상 공간이라고 하자.
: 그러면, [[집합족]] <math>\mathcal{B} = \{B=(a, b)|\ a,\ b \in \mathbb{Q},\ a<b \}</math>는 <math>\mathbb{R}</math>의 가산 [[기저(위상수학)|기저]](countable base)가 된다.

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수학]]
[[분류:수]]

소수(실수)

2013-08-29T06:00:01Z

ProtArie:

{{다른 뜻|소수}}

'''소수'''(小數)는 소수점을 이용해서 표기한 [[실수]]를 말한다. 소수점을 기준으로 [[정수]] 부분과 소수 부분으로 나누어진다.

== 예시 ==
다음은 [[십진법]]에서 [[유리수]]를 소수로 표현한 예이다.
* <math> \frac{1}{4} </math>를 소수로 표시하면 <math>0.25</math>이다.
* <math> \frac{7}{9} </math>를 소수로 표시하면 <math>0.\dot{7}</math>이다.

== 종류 ==
소수는 크게 '''유한소수'''와 '''무한소수'''로 나누며, 무한소수는 다시 '''순환소수'''와 '''[[무리수]]'''로 나눌 수 있다.

=== 유한소수 ===
'''유한소수'''는 소수 부분의 길이가 유한한 소수를 말한다. 예를 들어 <math>3.25</math>나 <math>0.938281</math>은 유한소수이다. 십진법에서 유한소수는 모두 유리수이다. 십진법에서 어떤 유리수가 되기 위해서는 [[기약분수]]의 형태로 썼을 때, [[분모]]의 [[소인수]]가 [[2]]나 [[5]]뿐이어야 한다.

=== 무한소수 ===
'''무한소수'''는 소수 부분의 길이가 유한하지 않은 소수를 말한다. 예를 들어 <math>4.7113113113113 \cdots</math>나 <math>3.141592 \cdots</math><ref>[[원주율]].</ref>는 무한소수이다. 이 중에서 <math>4.113113113113 \cdots</math>와 같이 소수 부분의 어떤 시점부터 일정한 숫자의 나열이 무한히 반복되는 것을 '''순환소수'''라고 하고, 그렇지 않은 것을 '''무리수'''라고 한다. 십진법에서 순환소수는 모두 유리수이다. 순환소수의 반복되는 부분을 '''순환마디'''라고 한다.

==== 순환소수의 표기 ====
순환소수를 표기하는 방법은 대표적으로 두 가지가 있다. 순환마디의 시작과 끝에 오는 숫자 위에 점을 찍거나, 순환마디부분에 선을 긋는것이다.
* <math>0.7777 \cdots = 0.\dot{7} = 0.\bar{7}</math>
* <math>4.7113113113113 \cdots = 4.7\dot{1}1\dot{3} = 4.7 \overline{113}</math>

==== 순환마디의 길이 ====
다음을 만족하는 가장 작은 양의 [[정수]] <math>k</math>를 <math>k = \operatorname{ord} _n a</math>라고 쓰자.<ref>Order of <math>a</math> mod <math>n</math>.</ref> \[ a^k \equiv 1\ ( \operatorname{mod} n ) \]
그러면 임의의 <math>b</math>진법에서 기약분수 <math> \frac{p}{q} </math>를 소수로 표현했을 때 순환마디의 길이는 <math>\operatorname{ord} _U b</math>이다. 여기서 <math>U</math>는 <math>q</math>의 [[약수]]중에서 <math>b</math>와 [[서로소]]인 가장 큰 수이다.

== 같이 보기 ==
* [[0.999]]
* [[고정소수점]]
* [[부동소수점]]

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수학]]
[[분류:수]]

서로소(집합)

2013-08-29T05:59:39Z

ProtArie:

{{다른뜻|서로소}}
어떤 두개 이상의 [[집합]]이 '''서로소'''(disjoint)라는 것은 그 집합들이 공통의 원소를 갖지 않는다는 뜻이다. 이때, 그 집합들을 '''서로소 집합'''(disjoint sets)이라고 부른다.

== 다른 표현 ==
* 두 집합의 [[교집합]]이 [[공집합]]이다.
* <math>X \cap Y =</math> '''∅'''.

== 성질 ==
임의의 두 서로소 집합 <math>X, Y</math>에 대해 다음이 성립한다.
* <math>X-Y=X</math>
[[유한집합]]인 임의의 두 서로소 집합 <math>X, Y</math>에 대해 다음이 성립한다.
* <math>n(X \cup Y) = n(X) + n(Y)</math>

== 같이 보기 ==
* [[서로소 합집합]]

[[분류:수학]]
[[분류:집합론]]

서로소 합집합

2013-08-29T05:59:11Z

ProtArie:

[[수학]]에서 '''서로소 합집합'''(disjoint union)은 두 가지 다른 의미를 가진다.
# [[집합론]]에서 '''서로소 합집합'''<ref>discriminated union이라고 부르기도 한다.</ref>은 [[합집합]]의 각 원소들이 어느 [[집합]]으로부터 왔는지까지 알려주는 집합이다.
# 어떤 [[집합]]이 <math>X</math>와 <math>Y</math>의 '''서로소 합집합'''이라는 것은 그 집합이 <math>X \cup Y</math>이고, 동시에 [[서로소(집합)|<math>X \cap Y=</math> '''∅''']]라는 것이다.<ref>쉽게 말해서, 서로소인 집합들의 합집합이라는 뜻이다.</ref>

== 집합론에서 정의 ==
[[집합론]]에서의 서로소 합집합의 정의를 수식으로 표현하자면 다음과 같다.<ref><math>\bigsqcup</math>대신에 <math> \coprod</math>라는 기호를 쓰기도 한다. <del>하지만 결국 쓰는 사람 마음</del></ref>\[ \bigsqcup_{i \in I} A_i := \bigcup_{i \in I} \{ (x,i) : x \in A_i \} .\]
위 문장을 풀이하자면, <math>\bigsqcup_{i\in I} A_i</math>은 <math>A_i</math>의 각 원소에 <math>i</math>라는 번호를 준 집합 <math>{A_i}^* = \{ (x,i) : x \in A_i \}</math>들의 합집합이며, [[순서쌍]] <math>(x,i)</math>들의 집합이 되는 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[합집합]]
* [[서로소(집합)|서로소 집합]](disjoint sets)

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수학]]
[[분류:집합론]]

분류:수열

2013-08-29T05:58:30Z

ProtArie:

[[분류:수학]]
[[분류:수론]]

분류:수열

2013-08-29T05:58:13Z

ProtArie: 새 문서: 분류:수학

[[분류:수학]]

삼각수

2013-08-29T05:57:53Z

ProtArie:

'''삼각수'''(triangular number)는 [[정삼각형]]의 형태로 점들을 배치할 때, 필요한 점의 수이다. <math>n</math>번째 삼각수는 1부터 <math>n</math>까지의 [[자연수]]를 모두 더한 것과 같다. <math>n</math>번째 삼각수를 <math>T_n</math>이라고 하면, \[ T_n = \frac{n(n+1)}{2} \]로 표시할 수 있다.

== 성질 ==
* 모든 [[자연수]]는 최대 [[3]]개의 삼각수의 합으로 표현할 수 있다.
* <math>{T_n}^2 = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{4}</math>

== 처음 30개의 삼각수 ==
[[1]], [[3]], [[6]], [[10]], [[15]], [[21]], [[28]], [[36]], [[45]], [[55]], [[66]], [[78]], [[91]], 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465

== 같이 보기 ==
* [[사각수]]

[[분류:수학]]
[[분류:수열]]
[[분류:도형수]]

사칙연산

2013-08-29T05:57:26Z

ProtArie:

'''사칙연산'''(四則演算)은 수학의 [[4]]가지 기본연산인 [[덧셈]], [[뺄셈]], [[곱셈]], [[나눗셈]]을 통틀어 가리키는 말이다. 이 네개의 연산에 대해서 모두 [[닫혀있다|닫혀있는]] 수의 [[집합(수학)|집합]]을 [[체(수학)|체]]라고 부른다.<ref>나눗셈에 대해서 닫혀있는지 판단하는 경우에는 [[0]](덧셈에 대한 [[항등원]])으로 나누는 것은 제외한다.</ref> 우리가 흔히 알고 있는 체에는 [[유리수]], [[실수]], [[복소수]]가 있다. 사칙연산이 아닌 다른 연산<ref>예를 들어, 어떤 수의 양의 제곱근을 구하는 것.</ref>의 대부분은 사칙연산을 복합적으로 수행하는 것으로 표현할 수 있다.<ref>무한히 많이 반복해야 할 수도 있다.</ref>

== 연산의 우선순위 ==
일반적인 수로만 이루어진 식에서 연산의 순서는 다음을 따른다.
* [[괄호]] 안에 있는 것부터 계산한다.<ref>괄호 안에서 계산을 할 때에도 이 순서를 따른다.</ref> [[분수]]꼴로 쓰여진 수의 [[분모]]와 [[분자]]에 오는 식은 괄호로 묶여있는 것으로 본다.
* 곱하기와 나누기보다 [[거듭제곱]]을 먼저 수행한다.
* 더하기와 빼기보다 곱하기와 나누기를 먼저 수행한다.
* 우선순위가 같은 경우에는 식의 가장 앞(왼쪽)에 있는 연산부터 수행한다.
예를 들어 <math>3 + 4 \times 5 - 8 \div 2^2 + (6 - 2) \div 4 \times 5^2</math>을 계산하는 순서는 다음과 같다.
# <math>3 + 4 \times 5 - 8 \div 2^2 + 4 \div 4 \times 5^2</math> (괄호)
# <math>3 + 4 \times 5 - 8 \div 4 + 4 \div 4 \times 25</math> (거듭제곱)
# <math>3 + 20 - 2 + 1 \times 25</math> (곱하기와 나누기, <math>4 \div 4 \times 25</math>에서 <math>4 \div 4</math>를 <math>4 \times 25</math>보다 먼저 수행한다.)
# <math>3 + 20 - 2 + 25</math> (이제 <math>1 \times 25</math>를 수행한다.)
# <math>23 - 2 + 25</math>
# <math>21 + 25</math>
# <math>46</math> (앞에 있는 더하기 또는 빼기부터 먼저 수행한다.)

== 같이 보기 ==
* [[교환법칙]]
* [[분배법칙]]
* [[결합법칙]]

== 주석 ==
<references/>

{{사칙연산}}
[[분류:수학]]

올림

2013-08-29T05:56:45Z

ProtArie: 새 문서: 수학에서 어떤 수의 '''올림'''(round-up)이란 수의 자릿수를 조절하는 방법으로, 조절하고 싶은 만큼의 자릿수보다 낮은 자리에 있는 숫자...

[[수학]]에서 어떤 수의 '''올림'''(round-up)이란 수의 자릿수를 조절하는 방법으로, 조절하고 싶은 만큼의 자릿수보다 낮은 자리에 있는 숫자를 모두 버리고, 마지막 자릿수의 숫자를 하나 올리는 것이다.

== 예시 ==
* 124222를 올림하여 100의 자리 수까지 구하면, 124300이 된다<ref>버려진 자리에 있는 숫자가 소수점 위에 있는 숫자라면, 그 자리의 숫자는 0으로 대체된다.</ref>.
* 22.5006을 올림하여 소수점 이하 두 번째 자리 수까지 구하면, 22.51이 된다.
* 30.9093을 올림하여 소수점 이하 세 번째 자리 수까지 구하면, 30.910이 된다<ref>소수점 이하 세 번째 자리에 있던 9가 1만큼 증가하여, 앞에 있는 자리 수를 하나 올리고 자신은 0이 되었다. 이 근삿값을 30.91이라고 쓰면 틀린 답이 된다.</ref>.
* 51.9901을 올림하여 소수점 이하 두 번째 자리 수까지 구하면, 52.00이 된다<ref>이 근삿값을 52라고 쓰면 틀린 답이 된다.</ref>.

== 같이 보기 ==
* [[반올림]]
* [[내림]]

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수학]]

비둘기집의원리

2013-08-29T05:54:14Z

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#넘겨주기[[비둘기집의 원리]]

디리클레의 방 나누기 원리

2013-08-29T05:53:57Z

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#넘겨주기[[비둘기집의 원리]]

비둘기집의 원리

2013-08-29T05:53:15Z

ProtArie: 새 문서: '''비둘기집의 원리'''(The pigeonhole principle)이란 \(n+1\) 마리 이상의 비둘기를 \(n\)개의 집에 넣으려고 할 때, 적어도 하나의 집에는 두 마...

'''비둘기집의 원리'''(The pigeonhole principle)이란 \(n+1\) 마리 이상의 [[비둘기]]를 \(n\)개의 집에 넣으려고 할 때, 적어도 하나의 집에는 두 마리 이상의 비둘기가 들어가게 된다는 정리이다. '''디리클레의 방 나누기 원리'''라고도 한다.

== 증명 ==
[[귀류법]]을 사용하여 증명한다. \(n\)개의 집과 \(n+1\)마리 이상의 비둘기가 있다고 가정하자. 그리고 각각의 집에는 한 마리 이하의 비둘기만 들어 있다고 가정하자. 그러면 집에 들어가 있는 비둘기의 수는 많아야 \(n\)마리 일 것이므로, \(n+1\)마리 이상의 비둘기가 있다는 것은 [[모순]]이다.

== 일반화된 정리 ==
\(n\)개의 물건을 \(m\)개의 상자에 넣으면, 적어도 한 개의 상자에는 \( \displaystyle{ \left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil } \)개 이상의 물건이 들어가 있다. 여기서 \(\lceil x\rceil \)는 x의 [[올림]](round-up)이다.

[[분류:수학]]
[[분류:수론]]

부분집합

2013-08-29T05:47:25Z

ProtArie:

어떤 [[집합]] <math>S</math>가 [[집합]] <math>X</math>의 '''부분집합'''(subset)이라는 것은 <math>S</math>의 원소가 모두 <math>X</math>에도 있다는 것을 뜻한다. 예를 들어, <math>\{ 1,\ 2,\ 7 \}</math>은 <math>\{ 1,\ 2,\ 3,\ 7,\ 9 \}</math>의 부분집합이다. <math>S</math>가 <math>X</math>의 부분집합이라는 것을 기호로는 <math>S \subset X</math>처럼 표현한다. 정의에 의하면, <math>X</math>의 원소는 모두 <math>X</math>에 있으므로, <math>X</math>는 <math>X</math>의 부분집합이다. 즉, 어떤 집합은 스스로 그 집합의 부분집합이 된다. 자기 자신이 아닌 부분집합을 '''진부분집합'''이라고 한다.

== 성질 ==
* <math>X \subset X</math>
* [[공집합|'''∅''']] <math>\subset X</math>
만약 <math>S \subset X</math>라면, 다음이 성립한다.
* <math>x \in S \Rightarrow x \in X</math>. (정의)
* <math>S \cup X = X</math>.
* <math>S \cap X = S</math>.
* <math>S - X =</math> '''∅'''.
* <math>X^C \subset S^C</math> (단, <math>X^C</math>는 <math>X</math>의 [[여집합]].)
임의의 두 집합 <math>X, Y</math>에 대해 다음이 성립한다.
* <math>X=Y \Leftrightarrow X \subset Y,\ Y \subset X</math>.
* <math>X \subset \left( X \cup Y \right)</math>.
* <math>\left( X \cap Y \right) \subset X</math>.
임의의 세 집합 <math>X, Y, Z</math>에 대해 다음이 성립한다.
* <math>X \subset Y, Y \subset Z \Rightarrow X \subset Z</math>.
* <math>X \subset Y, X \subset Z \Rightarrow X \subset \left( Y \cap Z \right)</math>.
* <math>X \subset Z, Y \subset Z \Rightarrow \left( X \cup Y \right) \subset Z</math>.

[[분류:수학]]
[[분류:집합론]]

사용자:ProtArie

2013-08-22T07:49:11Z

ProtArie: 새 문서: 곧 개학이니까 사용자 문서를 만들어 둬야겠다아! <del>뭔 상관이지?</del> '''ProtArie(프로트 아리에)'''는 누리위키의 유저이다. 그러하다....

곧 개학이니까 사용자 문서를 만들어 둬야겠다아! <del>뭔 상관이지?</del>

'''ProtArie(프로트 아리에)'''는 [[누리위키]]의 유저이다. 그러하다.

== 한마디 ==
* 얏호!

파일:뫼비우스의띠.png

2013-08-22T07:44:09Z

ProtArie: 뫼비우스의 띠

뫼비우스의 띠

2013-08-22T07:43:34Z

ProtArie: 새 문서: '''뫼비우스의 띠'''(Möbius strip)란 1개의 면과 1개의 경계를 가진 2차원 도형이다. 비가향적(non-orientable)인 대표적인 도형으로, 실제로 만들...

'''뫼비우스의 띠'''(Möbius strip)란 1개의 면과 1개의 경계를 가진 2차원 도형이다. 비가향적(non-orientable)인 대표적인 도형으로, 실제로 만들어볼 수도 있다. 뫼비우스의 띠는 1858년에 [[아우구스트 페르디난트 뫼비우스]]와 [[요한 베네딕트 리스팅]]이 각각 독립적으로 발견했다.

== 성질 ==
* 뫼비우스의 띠의 [[오일러 표수]](Euler characteristic)는 [[0]]이다.
* 뫼비우스의 띠를 폭의 중심을 따라 반으로 자르면, 두 번 꼬인 고리(anulus)가 된다.
* 뫼비우스의 띠를 폭의 1/3 지점에서 시작하여 자르기 시작하면 두 바퀴를 돌아서 완전히 잘리게 되는데, 그러면 폭만 좁아진 하나의 뫼비우스의 띠와 두 배 길이의 두 번 꼬인 고리로 분리된다.

== 수식으로 표현 ==
[[파일:뫼비우스의띠.png|섬네일|300픽셀|MATLAB으로 그린 뫼비우스의 띠. 수식은 이 문단에 있는 것을 사용했다.]]
뫼비우스의 띠는 \(\mathbb{R}^3\)에 존재할 수 있고, 다음 식은 그것을 매개변수로 표현한 것이다.\[\displaystyle{\begin{matrix} x(u,v) &=& \left(1+\frac{v}{2}\cos{\frac{u}{2}}\right)\cos{u} \\ y(u,v) &=& \left(1+\frac{v}{2}\cos{\frac{u}{2}}\right)\sin{u} \\ z(u,v) &=& \frac{v}{2}\sin{\frac{u}{2}} \end{matrix}}\quad 0\le u \le 2\pi,\; −1 \le v \le 1.\]
위 식은 xy평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 중심원<ref>뫼비우스의 띠의 폭의 중심을 따라서 그려지는 원</ref>으로 하는 폭이 1인 뫼비우스 띠를 표현한다.

== 같이 보기 ==
* [[클라인 병]]

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수학]]
[[분류:위상수학]]