연결 공간 편집하기

[[위상수학]]에서 '''연결 공간'''(connected space)이란, 연결되지 않은 공간(disconnected space)의 부정이다. 다시 말하자면, 일단 연결되지 않은 공간을 정의해야 한다. 그 이유는 정의하는 방법으로부터 알 수 있는데, 쉽게 말해서 연결 공간과 연결되지 않은 공간을 동시에 정의하여 사용하려면 추가적인 노력이 필요하다. 

== 정의 ==
어떤 [[위상 공간]] \(X\)가 연결되지 않은 공간이라는 것은 두 개의 [[공집합]]이 아닌 열린 [[부분 공간]] \(U\)와 \(V\)가 존재하여 다음을 만족한다는 것이다. 
# \(U\cup V=X\). 
# \(U\cap V=\) [[공집합|∅]]. 
다시 말하자면, 전체 공간이 두 개의 작은 공간으로 나뉜다는 것이다. 

어떤 [[위상 공간]]이 연결되어 있지 않은 공간이 아니라면<ref>정말 번거로운 표현이다.</ref>, 그 공간은 연결 공간이라고 한다. 

== 다른 표현 ==
적절한 [[필요충분조건]]에 의하여 연결성(connectedness)을 다음과 같이 표현할 수 있다. 
* \(X\)가 연결되지 않은 공간이다. \(\iff\) 어떤 [[열리고 닫힌 집합|열리고 닫힌]] 부분 집합(clopen set)<ref>열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합이라는 뜻이다. 수학에서는 이런 게 가능하다!</ref>이 있어서, [[공집합]]도 아니고, \(X\)도 아니다. 
* \(X\)가 연결 공간이다. \(\iff\) \(X\)의 모든 열리고 닫힌 부분 집합은 공집합이거나 \(X\)이다. 
위 필요충분조건들을 정의로써 사용하려면, '''연결 공간이 아니면서 연결되지 않은 공간이 아닌 공간'''<ref>정의하는 방법에 따라서 이런 것이 존재할 수도 있다. 예를 들어, 열린 집합이 아니면서 닫힌 집합이 아닌 집합은 존재한다.</ref>이 존재하지 않음을 추가로 증명해야 하기 때문에, 번거로움을 피하기 위해서 비교적 정의하기 쉬운 연결되지 않은 공간을 정의하고 연결 공간은 그것의 부정으로 생각하는 것이다. 

== 성질 ==
* 연결 공간의 [[부분 공간]]은 그 [[상대 위상]]에 있어서 연결 공간이다. 

== 주석 ==
<references/>