자연수 편집하기

'''자연수'''(自然數)는 {[[1]], [[2]], [[3]], …}으로 구성된 수의 집합으로, [[가산 집합]]이다. 기본적으로 자연수는 [[0]]을 포함하지 않는 양의 [[정수]]의 집합이지만, 편의상 [[0]]을 포함하기도 한다. 일반적으로 자연수의 집합을 표현할 때에는 \(\mathbb{N}\)을 사용한다.

== 수학 ==
* 자연수는 [[1]], [[소수(자연수)|소수]] 그리고 [[합성수]]로 이루어져 있다. 
* 자연수는 [[덧셈]]과 [[곱셈]]에 대해서 [[닫혀있다]]. 
* 자연수는 [[정수]]들의 [[집합]]에 속해있다. 
* [[2]]로 나누어 떨어지는 자연수를 [[짝수]]라고 한다. 그렇지 않으면 [[홀수]]라고 한다. 
* [[제곱근]]이 [[정수]]인 자연수를 [[사각수]]<ref>또는 '''완전제곱수''', 줄여서 '''제곱수'''라고도 한다.</ref>라고 한다.

== 엄밀한 정의 ==
자연수는 인간이 수를 셀 수 있었을 때부터 존재하였다고 생각해도 될만큼 오래되었다고 할 수 있다. 그러나 수학적으로 정의될 필요성이 제기된 것은 19세기로, 최근의 일이다. 

=== 페아노의 공리 ===
1889년, [[주세페 페아노]]는 자연수에 대한 구체적인 [[공리]]를 발표하였다. 이 공리로부터 자연수의 모든 성질이 증명될 수 있다. 
# 1은 자연수이다.<ref>여기서 1은 [[무정의 용어]]이다.</ref>
# \(n\)이 자연수라면, 그 다음에 오는 수 \(n'\)가 오직 하나 존재한다. 
# \(n'=1\)인 자연수는 없다. 
# \(n'=m'\)라면 \(n=m\)이다. 
# \(P\)가 다음 두 조건을 만족시키는 자연수의 부분집합이라면, \(P\)는 모든 자연수의 집합이다.<ref>자연수라면 이것을 만족해야 한다는 뜻이다. 이 공리는 [[수학적 귀납법]]을 보장해준다.</ref>
#* 1이 \(P\)에 속한다. 
#* \(k\)가 \(P\)에 속하면 \(k'\)도 P에 속한다. 

=== 순서수 공리 ===
[[순서수]]를 이용해서 자연수를 다음과 같이 귀납적으로 정의할 수 있다. 이 정의에서는 자연수에 [[0]]을 포함한다.<ref>페아노의 공리도 조금만 변형하면 0을 포함하여 정의할 수 있다.</ref>
# \(0=\{,\}\}\)이다. 
# 모든 \(x\)에 대하여 그 다음 순서수 \(x'=x\cup \{x\}\)이다. 
이 공리계에서 각각의 자연수는 \(1=0'=0\cup \{0\}=\{0\}\), \(2=1'=1\cup \{1\}=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}\)처럼 정의된다.<ref>각각의 자연수가 귀납적으로 정의된다.</ref> 자연수의 집합은 이들의 집합인 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[수론]] 
* [[소수(자연수)|소수]] 
* [[합성수]] 
* [[수학적 귀납법 ]]

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수학]]
[[분류:수]]
[[분류:자연수]]