평면 편집하기

'''평면'''은 무한히 넓고 완전하게 평평한, 부피가 없는 기하학적 요소이다. [[기하학 기초론]]에서는 평면은 [[무정의 용어]]로, [[공리]]를 설정하여 간접적으로 규정하여 사용한다.

== 평면에 대한 공리 ==
* 한 직선위에 있지 않는 임의의 세 [[점]]이 정하는 평면은 유일하다.
* 두 개의 서로 다른 점이 한 평면위에 있다면, 그 점들을 잇는 [[직선]]은 그 평면에 포함된다.
* 두 개의 평면이 한 점을 공유하면, 그 점을 지나고 두 평면에 모두 포함되는 직선이 정확하게 하나 존재한다.

== 공간(3차원) ==
=== 점과 평면 ===
3차원 공간에서 임의의 점은 어떤 평면 위에 있거나, 그것에 포함되지 않는다.

=== 직선과 평면 ===
* 한 직선과 한 평면은 다음 중 한 가지 관계에 있다.
*# 평면이 직선을 포함한다.
*# 한 점에서 만난다.
*# 서로 평행하다.

=== 평면과 평면 ===
* 어떤 두 평면은 다음 중 한 가지 관계에 있다.
*# 서로 같다.
*# 서로 만난다. 두 평면이 만나면 [[직선]]이 생기는데, 그것을 "교선"이라고 한다.
*# 서로 평행하다.

== 평면의 식 ==
=== 직교 좌표계 ===
일반적인 3차원 이상의 <math>n</math>차원 직교 좌표계에서, 평면은 <math>n-2</math>개의 [[일차식]]에 대한 [[연립방정식]]의 해공간이다.

==== 공간 직교 좌표계 ====
공간 직교 좌표계에서 임의의 평면은 다음과 같은 하나의 [[일차식]]으로 표현될 수 있다.
: <math>ax + by + cz + d = 0</math>
이 평면은 법선[[벡터]]가 <math>\mathbf{n} = (a,\ b,\ c)</math>인 평면이다.

== 이면각 ==
두 평면이 이루는 각의 크기를 '''이면각'''이라고 한다. 이면각은 두 평면의 법선벡터가 이루는 각과 크기가 같다. 3차원 직교 좌표계에서 두 평면의 이면각은 다음 공식을 이용하여 구할 수 있다.
: <math>S_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0</math>
: <math>S_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0</math>
위에 주어진 두 평면 <math>S_1</math>과 <math>S_2</math>가 이루는 각의 크기가 <math>\theta</math>이고, 두 평면의 법선벡터가 각각 <math>\mathbf{n_1}, \mathbf{n_2}</math>라면 다음이 성립한다.
: <math>\cos{\theta} = \frac{\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}}{\| \mathbf{n_1}\| \| \mathbf{n_2} \|} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}</math>
(단, 여기서 <math>\| \mathbf{x}\|</math>는 벡터 <math>\mathbf{x}</math>의 크기.)

== 부분공간 ==
원점을 지나는 평면은 그 평면을 표함하는 공간의 부분공간이 되고, [[차원]]은 [[2]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[평면도형]]
* [[반평면]]

{{기하학}}

[[분류:수학]]
[[분류:기하학]]