실수 - 편집 역사

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	'''실수'''(實數, real numbers)는 [[수]]의 [[집합]] 중 하나이다. 실수 집합은 ①[[완비성\|완비되어 있고]](complete), ②[[순서 공간\|순서가 있는]](ordered) [[체(수학)\|체]](field)로<ref>순서완비체(complete ordered field)라고 하며, 순서완비체는 동형적으로 유일하게 실수뿐이다.</ref>, 우리가 살고 있는 이 [[우주]]에서 유일하다. 실수의 집합은 흔히 <math>\mathbb{R}</math>로 표기한다.		'''실수'''(實數, real numbers)는 [[수]]의 [[집합]] 중 하나이다. 실수 집합은 ①[[완비성\|완비되어 있고]](complete), ②[[순서 공간\|순서가 있는]](ordered) [[체(수학)\|체]](field)로<ref>순서완비체(complete ordered field)라고 하며, 순서완비체는 동형적으로 유일하게 실수뿐이다.</ref>, 우리가 살고 있는 이 [[우주]]에서 유일하다. 실수의 집합은 흔히 <math>\mathbb{R}</math>로 표기한다.
	~~[[파일 : joa.png]]~~
	== 정의 ==		== 정의 ==
	[[유리수]]로 이루어진 모든 수렴하는 [[수열]]의 집합을 생각하자. 그 수열들 중에서 극한값이 같은 것끼리 모으는 [[분할]]을 생각하면, 각각의 분할을 하나의 수(그 분할 안에 있는 수열들의 극한값)에 대응시킬 수 있다. 이렇게 만든 수의 집합이 '''실수'''이다.		[[유리수]]로 이루어진 모든 수렴하는 [[수열]]의 집합을 생각하자. 그 수열들 중에서 극한값이 같은 것끼리 모으는 [[분할]]을 생각하면, 각각의 분할을 하나의 수(그 분할 안에 있는 수열들의 극한값)에 대응시킬 수 있다. 이렇게 만든 수의 집합이 '''실수'''이다.

2018년 3월 5일 (월) 03:13에 YazzalTooChuck님의 편집

2018-03-05T03:13:47Z

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	'''실수'''(實數, real numbers)는 [[수]]의 [[집합]] 중 하나이다. 실수 집합은 ①[[완비성\|완비되어 있고]](complete), ②[[순서 공간\|순서가 있는]](ordered) [[체(수학)\|체]](field)로<ref>순서완비체(complete ordered field)라고 하며, 순서완비체는 동형적으로 유일하게 실수뿐이다.</ref>, 우리가 살고 있는 이 [[우주]]에서 유일하다. 실수의 집합은 흔히 <math>\mathbb{R}</math>로 표기한다.		'''실수'''(實數, real numbers)는 [[수]]의 [[집합]] 중 하나이다. 실수 집합은 ①[[완비성\|완비되어 있고]](complete), ②[[순서 공간\|순서가 있는]](ordered) [[체(수학)\|체]](field)로<ref>순서완비체(complete ordered field)라고 하며, 순서완비체는 동형적으로 유일하게 실수뿐이다.</ref>, 우리가 살고 있는 이 [[우주]]에서 유일하다. 실수의 집합은 흔히 <math>\mathbb{R}</math>로 표기한다.
			[[파일 : joa.png]]
	== 정의 ==		== 정의 ==
	[[유리수]]로 이루어진 모든 수렴하는 [[수열]]의 집합을 생각하자. 그 수열들 중에서 극한값이 같은 것끼리 모으는 [[분할]]을 생각하면, 각각의 분할을 하나의 수(그 분할 안에 있는 수열들의 극한값)에 대응시킬 수 있다. 이렇게 만든 수의 집합이 '''실수'''이다.		[[유리수]]로 이루어진 모든 수렴하는 [[수열]]의 집합을 생각하자. 그 수열들 중에서 극한값이 같은 것끼리 모으는 [[분할]]을 생각하면, 각각의 분할을 하나의 수(그 분할 안에 있는 수열들의 극한값)에 대응시킬 수 있다. 이렇게 만든 수의 집합이 '''실수'''이다.

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		{{다른뜻}}

		'''실수'''(實數, real numbers)는 [[수]]의 [[집합]] 중 하나이다. 실수 집합은 ①[[완비성\|완비되어 있고]](complete), ②[[순서 공간\|순서가 있는]](ordered) [[체(수학)\|체]](field)로<ref>순서완비체(complete ordered field)라고 하며, 순서완비체는 동형적으로 유일하게 실수뿐이다.</ref>, 우리가 살고 있는 이 [[우주]]에서 유일하다. 실수의 집합은 흔히 <math>\mathbb{R}</math>로 표기한다.

		== 정의 ==
		[[유리수]]로 이루어진 모든 수렴하는 [[수열]]의 집합을 생각하자. 그 수열들 중에서 극한값이 같은 것끼리 모으는 [[분할]]을 생각하면, 각각의 분할을 하나의 수(그 분할 안에 있는 수열들의 극한값)에 대응시킬 수 있다. 이렇게 만든 수의 집합이 '''실수'''이다.

		== 성질 ==
		* 실수 집합 안에 있는 임의의 [[코시 수열]]은 실수로 수렴한다.<ref>실수는 유리수 수열들의 극한값의 집합이지만, 임의의 실수로 수렴하는 수열을 만들어도 그 극한값이 실수가 된다.</ref>([[완비성]])
		* 실수는 일반적인 [[덧셈]]과 [[곱셈]]에 대해서 [[체(수학)\|체]]이다.
		* 위로 [[유계]]인 실수의 [[부분집합]]은 [[최소상계]]<ref>또는 상한이라고도 한다.</ref>를 가진다. (최소상계 공리)
		* 실수의 개수는 [[자연수]]의 개수보다 훨씬 많다([[비가산 집합]]). 정확하게는 자연수 집합의 모든 부분집합의 개수만큼 많다. 이것을 일반적인 표현 방식으로 쓰면 다음과 같다.
		: <math>\left\| \mathbb{R} \right\| = \left\| \mathcal{P}(\mathbb{N}) \right\| = 2^{\aleph_0} = \aleph_1</math>
		* 실수에 일반적인 [[위상 공간\|위상]](usual topology)을 주면, 실수 공간은 [[제2가산공간]](second countable space)이다.
		: [간략한 증명] 실수에 위상을 준 위상 공간 <math>\left( \mathbb{R},\ \mathcal{T} \right)</math>를 일반적인 거리 위상(metric topology)을 갖는 위상 공간이라고 하자.
		: 그러면, [[집합족]] <math>\mathcal{B} = \{B=(a, b)\|\ a,\ b \in \mathbb{Q},\ a<b \}</math>는 <math>\mathbb{R}</math>의 가산 [[기저(위상수학)\|기저]](countable base)가 된다.

		== 주석 ==
		<references/>

		[[분류:수학]]
		[[분류:수]]

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	~~{{다른뜻}}~~

	'''실수'''(實數, real numbers)는 [[수]]의 [[집합]] 중 하나이다. 실수 집합은 ①[[완비성\|완비되어 있고]](complete), ②[[순서 공간\|순서가 있는]](ordered) [[체(수학)\|체]](field)로<ref>순서완비체(complete ordered field)라고 하며, 순서완비체는 동형적으로 유일하게 실수뿐이다.</ref>, 우리가 살고 있는 이 [[우주]]에서 유일하다. 실수의 집합은 흔히 <math>\mathbb{R}</math>로 표기한다.

	~~== 정의 ==~~
	[[유리수]]로 이루어진 모든 수렴하는 [[수열]]의 집합을 생각하자. 그 수열들 중에서 극한값이 같은 것끼리 모으는 [[분할]]을 생각하면, 각각의 분할을 하나의 수(그 분할 안에 있는 수열들의 극한값)에 대응시킬 수 있다. 이렇게 만든 수의 집합이 '''실수'''이다.

	~~== 성질 ==~~
	* 실수 집합 안에 있는 임의의 [[코시 수열]]은 실수로 수렴한다.<ref>실수는 유리수 수열들의 극한값의 집합이지만, 임의의 실수로 수렴하는 수열을 만들어도 그 극한값이 실수가 된다.</ref>([[완비성]])
	* 실수는 일반적인 [[덧셈]]과 [[곱셈]]에 대해서 [[체(수학)\|체]]이다.
	* 위로 [[유계]]인 실수의 [[부분집합]]은 [[최소상계]]<ref>또는 상한이라고도 한다.</ref>를 가진다. (최소상계 공리)
	* 실수의 개수는 [[자연수]]의 개수보다 훨씬 많다([[비가산 집합]]). 정확하게는 자연수 집합의 모든 부분집합의 개수만큼 많다. 이것을 일반적인 표현 방식으로 쓰면 다음과 같다.
	~~: <math>\left\| \mathbb{R} \right\| = \left\| \mathcal{P}(\mathbb{N}) \right\| = 2^{\aleph_0} = \aleph_1</math>~~
	* 실수에 일반적인 [[위상 공간\|위상]](usual topology)을 주면, 실수 공간은 [[제2가산공간]](second countable space)이다.
	~~: [간략한 증명] 실수에 위상을 준 위상 공간 <math>\left( \mathbb{R},\ \mathcal{T} \right)</math>를 일반적인 거리 위상(metric topology)을 갖는 위상 공간이라고 하자.~~
	~~: 그러면, [[집합족]] <math>\mathcal{B} = \{B=(a, b)\|\ a,\ b \in \mathbb{Q},\ a<b \}</math>는 <math>\mathbb{R}</math>의 가산 [[기저(위상수학)\|기저]](countable base)가 된다.~~

	~~== 주석 ==~~
	~~<references/>~~

	~~[[분류:수학]]~~
	~~[[분류:수]]~~

2013년 11월 10일 (일) 10:21에 티디님의 편집

2013-11-10T10:21:18Z

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	{{다른뜻}}		{{다른뜻}}

	'''실수'''(實數, real numbers)는 [[수]]의 [[집합]] 중 하나이다. 실수 집합은 ①[[완비성\|완비되어 있고]](complete), ②[[순서 공간\|순서가 있는]](ordered) [[체(수학)\|체]](field)로<ref>순서완비체(complete ordered field)라고 하며, 순서완비체는 동형적으로 유일하게 실수뿐이다.</ref>, 우리가 살고 있는 이 [[우주]]에서 유일하다. 실수의 집합은 흔히 <math>\mathbb{R}</math>로 표기한다.		'''실수'''(實數, real numbers)는 [[수]]의 [[집합]] 중 하나이다. 실수 집합은 ①[[완비성\|완비되어 있고]](complete), ②[[순서 공간\|순서가 있는]](ordered) [[체(수학)\|체]](field)로<ref>순서완비체(complete ordered field)라고 하며, 순서완비체는 동형적으로 유일하게 실수뿐이다.</ref>, 우리가 살고 있는 이 [[우주]]에서 유일하다. 실수의 집합은 흔히 <math>\mathbb{R}</math>로 표기한다.

2013년 8월 29일 (목) 07:06에 티디님의 편집

2013-08-29T07:06:25Z

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	{{다른뜻}}		{{다른뜻}}

	'''실수'''(實數, real numbers)는 [[수]]의 [[집합]] 중 하나이다. 실수 집합은 ①[[완비성\|완비되어 있고]](complete), ②[[순서 공간\|순서가 있는]](ordered) [[체(수학)\|체]](field)로<ref>순서완비체(complete ordered field)라고 하며, 순서완비체는 동형적으로 유일하게 실수뿐이다.</ref>, 우리가 살고 있는 이 [[우주]]에서 유일하다. 실수의 집합은 흔히 <math>\mathbb{R}</math>로 표기한다.		'''실수'''(實數, real numbers)는 [[수]]의 [[집합]] 중 하나이다. 실수 집합은 ①[[완비성\|완비되어 있고]](complete), ②[[순서 공간\|순서가 있는]](ordered) [[체(수학)\|체]](field)로<ref>순서완비체(complete ordered field)라고 하며, 순서완비체는 동형적으로 유일하게 실수뿐이다.</ref>, 우리가 살고 있는 이 [[우주]]에서 유일하다. 실수의 집합은 흔히 <math>\mathbb{R}</math>로 표기한다.

2013년 8월 29일 (목) 06:00에 ProtArie님의 편집

2013-08-29T06:00:22Z

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			[[분류:수학]]
	[[분류:수]]		[[분류:수]]

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새 문서: {{다른뜻}} '''실수'''(實數, real numbers)는 수의 집합 중 하나이다. 실수 집합은 ①완비되어 있고(complete), ②순서 공간|순서...

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{{다른뜻}}

'''실수'''(實數, real numbers)는 [[수]]의 [[집합]] 중 하나이다. 실수 집합은 ①[[완비성|완비되어 있고]](complete), ②[[순서 공간|순서가 있는]](ordered) [[체(수학)|체]](field)로<ref>순서완비체(complete ordered field)라고 하며, 순서완비체는 동형적으로 유일하게 실수뿐이다.</ref>, 우리가 살고 있는 이 [[우주]]에서 유일하다. 실수의 집합은 흔히 <math>\mathbb{R}</math>로 표기한다.

== 정의 ==
[[유리수]]로 이루어진 모든 수렴하는 [[수열]]의 집합을 생각하자. 그 수열들 중에서 극한값이 같은 것끼리 모으는 [[분할]]을 생각하면, 각각의 분할을 하나의 수(그 분할 안에 있는 수열들의 극한값)에 대응시킬 수 있다. 이렇게 만든 수의 집합이 '''실수'''이다.

== 성질 ==
* 실수 집합 안에 있는 임의의 [[코시 수열]]은 실수로 수렴한다.<ref>실수는 유리수 수열들의 극한값의 집합이지만, 임의의 실수로 수렴하는 수열을 만들어도 그 극한값이 실수가 된다.</ref>([[완비성]])
* 실수는 일반적인 [[덧셈]]과 [[곱셈]]에 대해서 [[체(수학)|체]]이다.
* 위로 [[유계]]인 실수의 [[부분집합]]은 [[최소상계]]<ref>또는 상한이라고도 한다.</ref>를 가진다. (최소상계 공리)
* 실수의 개수는 [[자연수]]의 개수보다 훨씬 많다([[비가산 집합]]). 정확하게는 자연수 집합의 모든 부분집합의 개수만큼 많다. 이것을 일반적인 표현 방식으로 쓰면 다음과 같다.
: <math>\left| \mathbb{R} \right| = \left| \mathcal{P}(\mathbb{N}) \right| = 2^{\aleph_0} = \aleph_1</math>
* 실수에 일반적인 [[위상 공간|위상]](usual topology)을 주면, 실수 공간은 [[제2가산공간]](second countable space)이다.
: [간략한 증명] 실수에 위상을 준 위상 공간 <math>\left( \mathbb{R},\ \mathcal{T} \right)</math>를 일반적인 거리 위상(metric topology)을 갖는 위상 공간이라고 하자.
: 그러면, [[집합족]] <math>\mathcal{B} = \{B=(a, b)|\ a,\ b \in \mathbb{Q},\ a<b \}</math>는 <math>\mathbb{R}</math>의 가산 [[기저(위상수학)|기저]](countable base)가 된다.

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수]]