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새 문서: '''위상공간'''(topological space)은 어떤 집합의 열린 집합이 무엇인지 알려주는 집합족인 '''위상'''(topology)을 부여한 공간이다. == 정...

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'''위상공간'''(topological space)은 어떤 [[집합]]의 [[열린 집합]]이 무엇인지 알려주는 [[집합족]]인 '''위상'''(topology)을 부여한 공간이다.

== 정의 ==
<math>X</math>를 [[집합]]이라고 하자. 그럼 다음 [[3]]가지 성질을 만족하는 [[집합족]] <math>\mathcal{T}</math>를 <math>X</math>의 위상이라고 부른다.
# [[공집합|'''∅''']]<math>,\ X \in \mathcal{T}.</math>
# <math>U_{\alpha} \in \mathcal{T},\ \alpha \in A \Rightarrow \cup _{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \mathcal{T}.</math>
# <math>U_1,\ \cdots ,\ U_n \in \mathcal{T} \Rightarrow U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \mathcal{T}.</math>

집합 <math>X</math>에 위상 <math>\mathcal{T}</math>가 주어진 위상공간을 <math>(X, \mathcal{T})</math>로 표현한다.

=== 위상공간에서 열린 집합 ===
집합족 <math>\mathcal{T}</math>의 원소들을 위상공간 <math>(X, \mathcal{T})</math>의 [[열린 집합]]이라고 한다.

== 위상공간의 예 ==
# [[유클리드 공간]] <math>X = \mathbb{R}^n</math>에 주어진 일반적인 위상공간.
#* <math>\mathcal{T}= \{</math>[[열린 공]]들의 [[합집합]]이 되는 <math>X</math>의 부분집합<math>\}.</math>
# [[밀착위상]](indiscrete topology) <math>(X,\ \mathcal{T})</math>
#* <math>\mathcal{T}= \{</math>'''∅'''<math>,\ X \}.</math>
# [[이상위상]](discrete topology) <math>(X,\ \mathcal{T})</math>
#* <math>\mathcal{T}=</math> [[멱집합|<math>\mathcal{P}(X).</math>]]

== 위상동형사상 ==
{{본문|위상동형사상}}

어떤 함수 <math>f:X \longrightarrow Y</math>가 다음 [[3]]가지 성질을 만족하면, '''위상동형사상'''(homeomorphism)이라고 한다.
# <math>f</math>가 [[연속함수|연속]]이다.
# <math>f</math>가 [[전단사 함수]]이다.
# [[역함수|<math>f^{-1}</math>]]가 연속이다.

=== 위상적 성질 ===
위상동형사상에 의해서 보존되는 위상공간의 성질을 '''위상적 성질'''(topological property)이라고 한다.
*예: [[연결공간|연결성]](connectedness), [[컴팩트 공간|컴팩트성]](compactness)

== 같이 보기 ==
* [[기저(위상수학)|기저]](base)

[[분류:위상수학]]

위상공간 - 편집 역사

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