컴팩트 공간

어떤 위상공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 컴팩트(compact) 또는 옹골이라는 것은, 다음을 만족한다는 것이다.

[math]\displaystyle{ X }[/math]의 모든 열린 덮개(open cover)가 유한 부분덮개(finite subcover)를 가진다.

성질

[math]\displaystyle{ X, Y }[/math]가 위상공간이고, [math]\displaystyle{ f:X \rightarrow Y }[/math]가 연속함수라면 다음이 성립한다.

[math]\displaystyle{ K }[/math]가 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 컴팩트 부분공간이라면, [math]\displaystyle{ f(K) }[/math]는 [math]\displaystyle{ Y }[/math]의 컴팩트 부분공간이다.
[math]\displaystyle{ X }[/math]가 컴팩트라는 것은 다음과 각각 동치이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]는 점렬 컴팩트(sequentially compact)이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]는 완비적(complete)이고, 완전 유계(totally bounded)이다.

유클리드 공간의 부분집합 [math]\displaystyle{ E }[/math]가 컴팩트라는 것은 [math]\displaystyle{ E }[/math]가 닫혀있고(closed), 유계(bounded)라는 것이다. 이 정리를 하이네-보렐 정리라고 한다.