약수와 배수

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수론에서 [math]\displaystyle{ a }[/math]가 [math]\displaystyle{ b }[/math]의 약수(divisor)라는 것은 [math]\displaystyle{ a }[/math]로 [math]\displaystyle{ b }[/math]를 나누면 나머지가 0이 된다는 것을 뜻한다. 이때 [math]\displaystyle{ b }[/math]는 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 배수(multiple)라고 한다. 이것을 기호로는 [math]\displaystyle{ a|b }[/math]라고 표시하며, "[math]\displaystyle{ a }[/math]는 [math]\displaystyle{ b }[/math]의 약수이다", "[math]\displaystyle{ a }[/math]가 [math]\displaystyle{ b }[/math]를 나눈다", "[math]\displaystyle{ b }[/math]는 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 배수이다", 또는 "[math]\displaystyle{ b }[/math]는 [math]\displaystyle{ a }[/math]로 나누어 떨어진다"라고 읽는다. 약수와 배수는 일반적으로 음수일 수도 있는데, 양의 약수 또는 음의 약수처럼 혼동을 피해서 말하기도 한다. 일반적으로, 사람들은 약수를 생각할 때 양의 약수만을 생각한다.

어떤 0이 아닌 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 약수들 중에서 [math]\displaystyle{ 1,\ -1,\ n,\ -n }[/math]은 당연히 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 약수이므로 자명한 약수라고 하며, 자기 자신인 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 제외한 약수들을 진약수라고 한다. 양의 진약수가 1밖에 없는 자연수를 소수라고 한다.

또한 [math]\displaystyle{ -n, n }[/math]은 당연히 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 배수이며, 0에 어떤 수를 곱하든 0이므로, 0은 모든 수의 배수이다.

성질

• 0은 모든 정수의 배수이다.
• 1과 -1은 모든 정수의 약수이다.
• [math]\displaystyle{ a|a }[/math].
• [math]\displaystyle{ a|b,\ b|c \Rightarrow a|c }[/math].
• [math]\displaystyle{ a|b,\ a|c \Rightarrow a|(b+c) }[/math].
• 어떤 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 소인수 분해가 다음과 같다고 하자.

[math]\displaystyle{ n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k} }[/math]

그러면, [math]\displaystyle{ n }[/math]의 양의 약수의 개수 [math]\displaystyle{ d(n) }[/math]은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ d(n) = (e_1 + 1) (e_2 + 1) \cdots (e_k + 1) }[/math]

또한, [math]\displaystyle{ n }[/math]의 양의 약수의 합 [math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math]은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \sigma(n) = \prod_{i=1}^{k} \frac{p_{i}^{e_i + 1}-1}{p_{i}-1} }[/math]

같이 보기

• 공약수
• 공배수
• 오일러 피 함수(Euler's phi function, [math]\displaystyle{ \phi (n) }[/math])
• 합동(congruence relation)