열린 집합

어떤 집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 열린 집합(open set)이라는 것은 [math]\displaystyle{ X }[/math]안의 각각의 원소 [math]\displaystyle{ p }[/math]에 대해서 어떤 열린 근방(open neighborhood) [math]\displaystyle{ U }[/math]가 있어서, [math]\displaystyle{ x \in U \subset X }[/math]를 만족한다는 것이다.

거리 공간

거리 공간 [math]\displaystyle{ \left(X, d \right) }[/math]의 부분 집합 [math]\displaystyle{ U }[/math]가 열려있다는 것은 [math]\displaystyle{ U }[/math]가 열린 공들의 합집합이라는 것이다.

위상 공간

위상 공간 [math]\displaystyle{ \left(X, \mathcal{T} \right) }[/math]의 부분 집합 [math]\displaystyle{ U }[/math]가 열려있다는 것은 [math]\displaystyle{ U \in \mathcal{T} }[/math]라는 것이다.

성질

• 임의의 개수의 열린 집합들의 합집합은 여전히 열린 집합이다.
• 유한개의 열린 집합들의 교집합은 여전히 열린 집합이다.
• 열린 집합의 내부(interior)는 그 자신이다.

같이 보기

• 닫힌 집합(closed set)
• 내부(interior)
• 닫힘(closure)
• 경계(boundary)