뫼비우스의 띠

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뫼비우스의 띠(Möbius strip)란 1개의 면과 1개의 경계를 가진 2차원 도형이다. 비가향적(non-orientable)인 대표적인 도형으로, 실제로 만들어볼 수도 있다. 뫼비우스의 띠는 1858년에 아우구스트 페르디난트 뫼비우스요한 베네딕트 리스팅이 각각 독립적으로 발견했다.

성질

  • 뫼비우스의 띠의 오일러 표수(Euler characteristic)는 0이다.
  • 뫼비우스의 띠를 폭의 중심을 따라 반으로 자르면, 두 번 꼬인 고리(anulus)가 된다.
  • 뫼비우스의 띠를 폭의 1/3 지점에서 시작하여 자르기 시작하면 두 바퀴를 돌아서 완전히 잘리게 되는데, 그러면 폭만 좁아진 하나의 뫼비우스의 띠와 두 배 길이의 두 번 꼬인 고리로 분리된다.

수식으로 표현

MATLAB으로 그린 뫼비우스의 띠. 수식은 이 문단에 있는 것을 사용했다.

뫼비우스의 띠는 \(\mathbb{R}^3\)에 존재할 수 있고, 다음 식은 그것을 매개변수로 표현한 것이다.\[\displaystyle{\begin{matrix} x(u,v) &=& \left(1+\frac{v}{2}\cos{\frac{u}{2}}\right)\cos{u} \\ y(u,v) &=& \left(1+\frac{v}{2}\cos{\frac{u}{2}}\right)\sin{u} \\ z(u,v) &=& \frac{v}{2}\sin{\frac{u}{2}} \end{matrix}}\quad 0\le u \le 2\pi,\; −1 \le v \le 1.\] 위 식은 xy평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 중심원[1]으로 하는 폭이 1인 뫼비우스 띠를 표현한다.

같이 보기

주석

  1. ^ 뫼비우스의 띠의 폭의 중심을 따라서 그려지는 원