소수(실수)
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소수(小數)는 소수점을 이용해서 표기한 실수를 말한다. 소수점을 기준으로 정수 부분과 소수 부분으로 나누어진다.
예시
- [math] \frac{1}{4} [/math]를 소수로 표시하면 [math]0.25[/math]이다.
- [math] \frac{7}{9} [/math]를 소수로 표시하면 [math]0.\dot{7}[/math]이다.
종류
소수는 크게 유한소수와 무한소수로 나누며, 무한소수는 다시 순환소수와 무리수로 나눌 수 있다.
유한소수
유한소수는 소수 부분의 길이가 유한한 소수를 말한다. 예를 들어 [math]3.25[/math]나 [math]0.938281[/math]은 유한소수이다. 십진법에서 유한소수는 모두 유리수이다. 십진법에서 어떤 유리수가 되기 위해서는 기약분수의 형태로 썼을 때, 분모의 소인수가 2나 5뿐이어야 한다.
무한소수
무한소수는 소수 부분의 길이가 유한하지 않은 소수를 말한다. 예를 들어 [math]4.7113113113113 \cdots[/math]나 [math]3.141592 \cdots[/math][1]는 무한소수이다. 이 중에서 [math]4.113113113113 \cdots[/math]와 같이 소수 부분의 어떤 시점부터 일정한 숫자의 나열이 무한히 반복되는 것을 순환소수라고 하고, 그렇지 않은 것을 무리수라고 한다. 십진법에서 순환소수는 모두 유리수이다. 순환소수의 반복되는 부분을 순환마디라고 한다.
순환소수의 표기
순환소수를 표기하는 방법은 대표적으로 두 가지가 있다. 순환마디의 시작과 끝에 오는 숫자 위에 점을 찍거나, 순환마디부분에 선을 긋는것이다.
- [math]0.7777 \cdots = 0.\dot{7} = 0.\bar{7}[/math]
- [math]4.7113113113113 \cdots = 4.7\dot{1}1\dot{3} = 4.7 \overline{113}[/math]
순환마디의 길이
다음을 만족하는 가장 작은 양의 정수 [math]k[/math]를 [math]k = \operatorname{ord} _n a[/math]라고 쓰자.[2] \[ a^k \equiv 1\ ( \operatorname{mod} n ) \] 그러면 임의의 [math]b[/math]진법에서 기약분수 [math] \frac{p}{q} [/math]를 소수로 표현했을 때 순환마디의 길이는 [math]\operatorname{ord} _U b[/math]이다. 여기서 [math]U[/math]는 [math]q[/math]의 약수중에서 [math]b[/math]와 서로소인 가장 큰 수이다.
