위상공간

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ProtArie (토론 | 기여)님의 2013년 8월 30일 (금) 19:29 판
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위상공간(topological space)은 어떤 집합열린 집합이 무엇인지 알려주는 집합족위상(topology)을 부여한 공간이다.

정의[편집]

[math]X[/math]집합이라고 하자. 그럼 다음 3가지 성질을 만족하는 집합족 [math]\mathcal{T}[/math][math]X[/math]의 위상이라고 부른다.

  1. [math],\ X \in \mathcal{T}.[/math]
  2. [math]U_{\alpha} \in \mathcal{T},\ \alpha \in A \Rightarrow \cup _{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \mathcal{T}.[/math]
  3. [math]U_1,\ \cdots ,\ U_n \in \mathcal{T} \Rightarrow U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \mathcal{T}.[/math]

집합 [math]X[/math]에 위상 [math]\mathcal{T}[/math]가 주어진 위상공간을 [math](X, \mathcal{T})[/math]로 표현한다.

위상공간에서 열린 집합[편집]

집합족 [math]\mathcal{T}[/math]의 원소들을 위상공간 [math](X, \mathcal{T})[/math]열린 집합이라고 한다.

위상공간의 예[편집]

  1. 유클리드 공간 [math]X = \mathbb{R}^n[/math]에 주어진 일반적인 위상공간.
    • [math]\mathcal{T}= \{[/math]열린 공들의 합집합이 되는 [math]X[/math]의 부분집합[math]\}.[/math]
  2. 밀착위상(indiscrete topology) [math](X,\ \mathcal{T})[/math]
    • [math]\mathcal{T}= \{[/math][math],\ X \}.[/math]
  3. 이상위상(discrete topology) [math](X,\ \mathcal{T})[/math]

위상동형사상[편집]

어떤 함수 [math]f:X \longrightarrow Y[/math]가 다음 3가지 성질을 만족하면, 위상동형사상(homeomorphism)이라고 한다.

  1. [math]f[/math]연속이다.
  2. [math]f[/math]전단사 함수이다.
  3. [math]f^{-1}[/math]가 연속이다.

위상적 성질[편집]

위상동형사상에 의해서 보존되는 위상공간의 성질을 위상적 성질(topological property)이라고 한다.

같이 보기[편집]