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[[순서수]]를 이용해서 자연수를 다음과 같이 귀납적으로 정의할 수 있다. 이 정의에서는 자연수에 [[0]]을 포함한다.<ref>페아노의 공리도 조금만 변형하면 0을 포함하여 정의할 수 있다.</ref>
 
[[순서수]]를 이용해서 자연수를 다음과 같이 귀납적으로 정의할 수 있다. 이 정의에서는 자연수에 [[0]]을 포함한다.<ref>페아노의 공리도 조금만 변형하면 0을 포함하여 정의할 수 있다.</ref>
# \(0=\{,\}\}\)이다.  
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# \(0=\{\,\}\)이다.  
 
# 모든 \(x\)에 대하여 그 다음 순서수 \(x'=x\cup \{x\}\)이다.  
 
# 모든 \(x\)에 대하여 그 다음 순서수 \(x'=x\cup \{x\}\)이다.  
 
이 공리계에서 각각의 자연수는 \(1=0'=0\cup \{0\}=\{0\}\), \(2=1'=1\cup \{1\}=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}\)처럼 정의된다.<ref>각각의 자연수가 귀납적으로 정의된다.</ref> 자연수의 집합은 이들의 집합인 것이다.
 
이 공리계에서 각각의 자연수는 \(1=0'=0\cup \{0\}=\{0\}\), \(2=1'=1\cup \{1\}=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}\)처럼 정의된다.<ref>각각의 자연수가 귀납적으로 정의된다.</ref> 자연수의 집합은 이들의 집합인 것이다.

2013년 10월 9일 (수) 14:04 기준 최신판

자연수(自然數)는 {1, 2, 3, …}으로 구성된 수의 집합으로, 가산 집합이다. 기본적으로 자연수는 0을 포함하지 않는 양의 정수의 집합이지만, 편의상 0을 포함하기도 한다. 일반적으로 자연수의 집합을 표현할 때에는 \(\mathbb{N}\)을 사용한다.

수학[편집]

엄밀한 정의[편집]

자연수는 인간이 수를 셀 수 있었을 때부터 존재하였다고 생각해도 될만큼 오래되었다고 할 수 있다. 그러나 수학적으로 정의될 필요성이 제기된 것은 19세기로, 최근의 일이다.

페아노의 공리[편집]

1889년, 주세페 페아노는 자연수에 대한 구체적인 공리를 발표하였다. 이 공리로부터 자연수의 모든 성질이 증명될 수 있다.

  1. 1은 자연수이다.[2]
  2. \(n\)이 자연수라면, 그 다음에 오는 수 \(n'\)가 오직 하나 존재한다.
  3. \(n'=1\)인 자연수는 없다.
  4. \(n'=m'\)라면 \(n=m\)이다.
  5. \(P\)가 다음 두 조건을 만족시키는 자연수의 부분집합이라면, \(P\)는 모든 자연수의 집합이다.[3]
    • 1이 \(P\)에 속한다.
    • \(k\)가 \(P\)에 속하면 \(k'\)도 P에 속한다.

순서수 공리[편집]

순서수를 이용해서 자연수를 다음과 같이 귀납적으로 정의할 수 있다. 이 정의에서는 자연수에 0을 포함한다.[4]

  1. \(0=\{\,\}\)이다.
  2. 모든 \(x\)에 대하여 그 다음 순서수 \(x'=x\cup \{x\}\)이다.

이 공리계에서 각각의 자연수는 \(1=0'=0\cup \{0\}=\{0\}\), \(2=1'=1\cup \{1\}=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}\)처럼 정의된다.[5] 자연수의 집합은 이들의 집합인 것이다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. ^ 또는 완전제곱수, 줄여서 제곱수라고도 한다.
  2. ^ 여기서 1은 무정의 용어이다.
  3. ^ 자연수라면 이것을 만족해야 한다는 뜻이다. 이 공리는 수학적 귀납법을 보장해준다.
  4. ^ 페아노의 공리도 조금만 변형하면 0을 포함하여 정의할 수 있다.
  5. ^ 각각의 자연수가 귀납적으로 정의된다.