페르마 수

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페르마 수(The Fermat numbers)는 다음과 같이 표현되는 자연수수열이다: \[F_n=2^{2^n}+1.\] 여기서 \(n=0,1,2,\cdots\)이다. 페르마 수는 처음 다섯 개\((n=0,1,2,3,4)\)의 수가 모두 소수이기 때문에, 1637년에 피에르 드 페르마는 다음과 같은 추측을 하였다.

  • 페르마 수는 모두 소수이다.

하지만 1732년에 레온하르트 오일러가 \(F_5\)가 합성수임을 밝혀냈다. 참고로 \(F_5=4294967297=641×6700417\)이다. 그 후로, 5이후의 \(n\)에 대하여 많은 페르마 수를 구해봤지만, 2013년 현재까지 소수인 것은 단 하나도 발견되지 않았다. 그래서 페르마 수에 대해서 다음 추측이 유력하게 되었다.

  • 5보다 큰 모든 \(n\)에 대해서 페르마 수는 모두 합성수이다.

페르마 수는 모두 소수일 것이라는 추측을 완전히 뒤집어버린 것이다. 물론 아직 증명되지는 않았다.

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