부분집합

어떤 집합 [math]\displaystyle{ S }[/math]가 집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 부분집합(subset)이라는 것은 [math]\displaystyle{ S }[/math]의 원소가 모두 [math]\displaystyle{ X }[/math]에도 있다는 것을 뜻한다. 예를 들어, [math]\displaystyle{ \{ 1,\ 2,\ 7 \} }[/math]은 [math]\displaystyle{ \{ 1,\ 2,\ 3,\ 7,\ 9 \} }[/math]의 부분집합이다. [math]\displaystyle{ S }[/math]가 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 부분집합이라는 것을 기호로는 [math]\displaystyle{ S \subset X }[/math]처럼 표현한다. 정의에 의하면, [math]\displaystyle{ X }[/math]의 원소는 모두 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 있으므로, [math]\displaystyle{ X }[/math]는 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 부분집합이다. 즉, 어떤 집합은 스스로 그 집합의 부분집합이 된다. 자기 자신이 아닌 부분집합을 진부분집합이라고 한다.

성질

• [math]\displaystyle{ X \subset X }[/math]
• ∅ [math]\displaystyle{ \subset X }[/math]

만약 [math]\displaystyle{ S \subset X }[/math]라면, 다음이 성립한다.

• [math]\displaystyle{ x \in S \Rightarrow x \in X }[/math]. (정의)
• [math]\displaystyle{ S \cup X = X }[/math].
• [math]\displaystyle{ S \cap X = S }[/math].
• [math]\displaystyle{ S - X = }[/math] ∅.
• [math]\displaystyle{ X^C \subset S^C }[/math] (단, [math]\displaystyle{ X^C }[/math]는 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 여집합.)

임의의 두 집합 [math]\displaystyle{ X, Y }[/math]에 대해 다음이 성립한다.

• [math]\displaystyle{ X=Y \Leftrightarrow X \subset Y,\ Y \subset X }[/math].
• [math]\displaystyle{ X \subset \left( X \cup Y \right) }[/math].
• [math]\displaystyle{ \left( X \cap Y \right) \subset X }[/math].

임의의 세 집합 [math]\displaystyle{ X, Y, Z }[/math]에 대해 다음이 성립한다.

• [math]\displaystyle{ X \subset Y, Y \subset Z \Rightarrow X \subset Z }[/math].
• [math]\displaystyle{ X \subset Y, X \subset Z \Rightarrow X \subset \left( Y \cap Z \right) }[/math].
• [math]\displaystyle{ X \subset Z, Y \subset Z \Rightarrow \left( X \cup Y \right) \subset Z }[/math].