위상공간

위상공간(topological space)은 어떤 집합의 열린 집합이 무엇인지 알려주는 집합족인 위상(topology)을 부여한 공간이다.

정의

[math]\displaystyle{ X }[/math]를 집합이라고 하자. 그럼 다음 3가지 성질을 만족하는 집합족 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]를 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 위상이라고 부른다.

1. ∅[math]\displaystyle{ ,\ X \in \mathcal{T}. }[/math]
2. [math]\displaystyle{ U_{\alpha} \in \mathcal{T},\ \alpha \in A \Rightarrow \cup _{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \mathcal{T}. }[/math]
3. [math]\displaystyle{ U_1,\ \cdots ,\ U_n \in \mathcal{T} \Rightarrow U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \mathcal{T}. }[/math]

집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 위상 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]가 주어진 위상공간을 [math]\displaystyle{ (X, \mathcal{T}) }[/math]로 표현한다.

위상공간에서 열린 집합

집합족 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]의 원소들을 위상공간 [math]\displaystyle{ (X, \mathcal{T}) }[/math]의 열린 집합이라고 한다.

위상공간의 예

1. 유클리드 공간 [math]\displaystyle{ X = \mathbb{R}^n }[/math]에 주어진 일반적인 위상공간.
   • [math]\displaystyle{ \mathcal{T}= \{ }[/math]열린 공들의 합집합이 되는 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 부분집합[math]\displaystyle{ \}. }[/math]
2. 밀착위상(indiscrete topology) [math]\displaystyle{ (X,\ \mathcal{T}) }[/math]
   • [math]\displaystyle{ \mathcal{T}= \{ }[/math]∅[math]\displaystyle{ ,\ X \}. }[/math]
3. 이상위상(discrete topology) [math]\displaystyle{ (X,\ \mathcal{T}) }[/math]
   • [math]\displaystyle{ \mathcal{T}= }[/math] [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X). }[/math]

위상동형사상

• 이 부분의 본문은 위상동형사상입니다.

어떤 함수 [math]\displaystyle{ f:X \longrightarrow Y }[/math]가 다음 3가지 성질을 만족하면, 위상동형사상(homeomorphism)이라고 한다.

1. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 연속이다.
2. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 전단사 함수이다.
3. [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math]가 연속이다.

위상적 성질

위상동형사상에 의해서 보존되는 위상공간의 성질을 위상적 성질(topological property)이라고 한다.

• 예: 연결성(connectedness), 컴팩트성(compactness)

같이 보기

• 기저(base)