연결 공간

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위상수학에서 연결 공간(connected space)이란, 연결되지 않은 공간(disconnected space)의 부정이다. 다시 말하자면, 일단 연결되지 않은 공간을 정의해야 한다. 그 이유는 정의하는 방법으로부터 알 수 있는데, 쉽게 말해서 연결 공간과 연결되지 않은 공간을 동시에 정의하여 사용하려면 추가적인 노력이 필요하다.

정의[편집]

어떤 위상 공간 \(X\)가 연결되지 않은 공간이라는 것은 두 개의 공집합이 아닌 열린 부분 공간 \(U\)와 \(V\)가 존재하여 다음을 만족한다는 것이다.

  1. \(U\cup V=X\).
  2. \(U\cap V=\) .

다시 말하자면, 전체 공간이 두 개의 작은 공간으로 나뉜다는 것이다.

어떤 위상 공간이 연결되어 있지 않은 공간이 아니라면[1], 그 공간은 연결 공간이라고 한다.

다른 표현[편집]

적절한 필요충분조건에 의하여 연결성(connectedness)을 다음과 같이 표현할 수 있다.

  • \(X\)가 연결되지 않은 공간이다. \(\iff\) 어떤 열리고 닫힌 부분 집합(clopen set)[2]이 있어서, 공집합도 아니고, \(X\)도 아니다.
  • \(X\)가 연결 공간이다. \(\iff\) \(X\)의 모든 열리고 닫힌 부분 집합은 공집합이거나 \(X\)이다.

위 필요충분조건들을 정의로써 사용하려면, 연결 공간이 아니면서 연결되지 않은 공간이 아닌 공간[3]이 존재하지 않음을 추가로 증명해야 하기 때문에, 번거로움을 피하기 위해서 비교적 정의하기 쉬운 연결되지 않은 공간을 정의하고 연결 공간은 그것의 부정으로 생각하는 것이다.

성질[편집]

주석[편집]

  1. ^ 정말 번거로운 표현이다.
  2. ^ 열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합이라는 뜻이다. 수학에서는 이런 게 가능하다!
  3. ^ 정의하는 방법에 따라서 이런 것이 존재할 수도 있다. 예를 들어, 열린 집합이 아니면서 닫힌 집합이 아닌 집합은 존재한다.