자연수
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자연수(自然數)는 {1, 2, 3, …}으로 구성된 수의 집합으로, 가산 집합이다. 기본적으로 자연수는 0을 포함하지 않는 양의 정수의 집합이지만, 편의상 0을 포함하기도 한다. 일반적으로 자연수의 집합을 표현할 때에는 \(\mathbb{N}\)을 사용한다.
수학
- 자연수는 1, 소수 그리고 합성수로 이루어져 있다.
- 자연수는 덧셈과 곱셈에 대해서 닫혀있다.
- 자연수는 정수들의 집합에 속해있다.
- 2로 나누어 떨어지는 자연수를 짝수라고 한다. 그렇지 않으면 홀수라고 한다.
- 제곱근이 정수인 자연수를 사각수[1]라고 한다.
엄밀한 정의
자연수는 인간이 수를 셀 수 있었을 때부터 존재하였다고 생각해도 될만큼 오래되었다고 할 수 있다. 그러나 수학적으로 정의될 필요성이 제기된 것은 19세기로, 최근의 일이다.
페아노의 공리
1889년, 주세페 페아노는 자연수에 대한 구체적인 공리를 발표하였다. 이 공리로부터 자연수의 모든 성질이 증명될 수 있다.
- 1은 자연수이다.[2]
- \(n\)이 자연수라면, 그 다음에 오는 수 \(n'\)가 오직 하나 존재한다.
- \(n'=1\)인 자연수는 없다.
- \(n'=m'\)라면 \(n=m\)이다.
- \(P\)가 다음 두 조건을 만족시키는 자연수의 부분집합이라면, \(P\)는 모든 자연수의 집합이다.[3]
- 1이 \(P\)에 속한다.
- \(k\)가 \(P\)에 속하면 \(k'\)도 P에 속한다.
순서수 공리
순서수를 이용해서 자연수를 다음과 같이 귀납적으로 정의할 수 있다. 이 정의에서는 자연수에 0을 포함한다.[4]
- \(0=\{,\}\}\)이다.
- 모든 \(x\)에 대하여 그 다음 순서수 \(x'=x\cup \{x\}\)이다.
이 공리계에서 각각의 자연수는 \(1=0'=0\cup \{0\}=\{0\}\), \(2=1'=1\cup \{1\}=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}\)처럼 정의된다.[5] 자연수의 집합은 이들의 집합인 것이다.