실수 편집하기

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'''실수'''(實數, real numbers)는 [[수]]의 [[집합]] 중 하나이다. 실수 집합은 ①[[완비성|완비되어 있고]](complete), ②[[순서 공간|순서가 있는]](ordered) [[체(수학)|체]](field)로<ref>순서완비체(complete ordered field)라고 하며, 순서완비체는 동형적으로 유일하게 실수뿐이다.</ref>, 우리가 살고 있는 이 [[우주]]에서 유일하다. 실수의 집합은 흔히 <math>\mathbb{R}</math>로 표기한다.
[[파일 : joa.png]]
== 정의 ==
[[유리수]]로 이루어진 모든 수렴하는 [[수열]]의 집합을 생각하자. 그 수열들 중에서 극한값이 같은 것끼리 모으는 [[분할]]을 생각하면, 각각의 분할을 하나의 수(그 분할 안에 있는 수열들의 극한값)에 대응시킬 수 있다. 이렇게 만든 수의 집합이 '''실수'''이다.

== 성질 ==
* 실수 집합 안에 있는 임의의 [[코시 수열]]은 실수로 수렴한다.<ref>실수는 유리수 수열들의 극한값의 집합이지만, 임의의 실수로 수렴하는 수열을 만들어도 그 극한값이 실수가 된다.</ref>([[완비성]])
* 실수는 일반적인 [[덧셈]]과 [[곱셈]]에 대해서 [[체(수학)|체]]이다.
* 위로 [[유계]]인 실수의 [[부분집합]]은 [[최소상계]]<ref>또는 상한이라고도 한다.</ref>를 가진다. (최소상계 공리)
* 실수의 개수는 [[자연수]]의 개수보다 훨씬 많다([[비가산 집합]]). 정확하게는 자연수 집합의 모든 부분집합의 개수만큼 많다. 이것을 일반적인 표현 방식으로 쓰면 다음과 같다.
: <math>\left| \mathbb{R} \right| = \left| \mathcal{P}(\mathbb{N}) \right| = 2^{\aleph_0} = \aleph_1</math>
* 실수에 일반적인 [[위상 공간|위상]](usual topology)을 주면, 실수 공간은 [[제2가산공간]](second countable space)이다.
: [간략한 증명] 실수에 위상을 준 위상 공간 <math>\left( \mathbb{R},\ \mathcal{T} \right)</math>를 일반적인 거리 위상(metric topology)을 갖는 위상 공간이라고 하자.
: 그러면, [[집합족]] <math>\mathcal{B} = \{B=(a, b)|\ a,\ b \in \mathbb{Q},\ a<b \}</math>는 <math>\mathbb{R}</math>의 가산 [[기저(위상수학)|기저]](countable base)가 된다.

== 주석 ==
<references/>

[[분류:수학]]
[[분류:수]]