실수

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실수(實數, real numbers)는 집합 중 하나이다. 실수 집합은 ①완비되어 있고(complete), ②순서가 있는(ordered) (field)로[1], 우리가 살고 있는 이 우주에서 유일하다. 실수의 집합은 흔히 [math]\mathbb{R}[/math]로 표기한다.

정의[편집]

유리수로 이루어진 모든 수렴하는 수열의 집합을 생각하자. 그 수열들 중에서 극한값이 같은 것끼리 모으는 분할을 생각하면, 각각의 분할을 하나의 수(그 분할 안에 있는 수열들의 극한값)에 대응시킬 수 있다. 이렇게 만든 수의 집합이 실수이다.

성질[편집]

[math]\left| \mathbb{R} \right| = \left| \mathcal{P}(\mathbb{N}) \right| = 2^{\aleph_0} = \aleph_1[/math]
  • 실수에 일반적인 위상(usual topology)을 주면, 실수 공간은 제2가산공간(second countable space)이다.
[간략한 증명] 실수에 위상을 준 위상 공간 [math]\left( \mathbb{R},\ \mathcal{T} \right)[/math]를 일반적인 거리 위상(metric topology)을 갖는 위상 공간이라고 하자.
그러면, 집합족 [math]\mathcal{B} = \{B=(a, b)|\ a,\ b \in \mathbb{Q},\ a\lt b \}[/math][math]\mathbb{R}[/math]의 가산 기저(countable base)가 된다.

주석[편집]

  1. ^ 순서완비체(complete ordered field)라고 하며, 순서완비체는 동형적으로 유일하게 실수뿐이다.
  2. ^ 실수는 유리수 수열들의 극한값의 집합이지만, 임의의 실수로 수렴하는 수열을 만들어도 그 극한값이 실수가 된다.
  3. ^ 또는 상한이라고도 한다.