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| + | '''실수'''(實數, real numbers)는 [[수]]의 [[집합]] 중 하나이다. 실수 집합은 ①[[완비성|완비되어 있고]](complete), ②[[순서 공간|순서가 있는]](ordered) [[체(수학)|체]](field)로<ref>순서완비체(complete ordered field)라고 하며, 순서완비체는 동형적으로 유일하게 실수뿐이다.</ref>, 우리가 살고 있는 이 [[우주]]에서 유일하다. 실수의 집합은 흔히 <math>\mathbb{R}</math>로 표기한다. | ||
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| + | * 실수의 개수는 [[자연수]]의 개수보다 훨씬 많다([[비가산 집합]]). 정확하게는 자연수 집합의 모든 부분집합의 개수만큼 많다. 이것을 일반적인 표현 방식으로 쓰면 다음과 같다. | ||
| + | : <math>\left| \mathbb{R} \right| = \left| \mathcal{P}(\mathbb{N}) \right| = 2^{\aleph_0} = \aleph_1</math> | ||
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| + | : [간략한 증명] 실수에 위상을 준 위상 공간 <math>\left( \mathbb{R},\ \mathcal{T} \right)</math>를 일반적인 거리 위상(metric topology)을 갖는 위상 공간이라고 하자. | ||
| + | : 그러면, [[집합족]] <math>\mathcal{B} = \{B=(a, b)|\ a,\ b \in \mathbb{Q},\ a<b \}</math>는 <math>\mathbb{R}</math>의 가산 [[기저(위상수학)|기저]](countable base)가 된다. | ||
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| + | [[분류:수학]] | ||
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2018년 3월 5일 (월) 14:33 기준 최신판
다른 뜻에 대해서는 실수(동음이의) 문서를 참조하십시오.
실수(實數, real numbers)는 수의 집합 중 하나이다. 실수 집합은 ①완비되어 있고(complete), ②순서가 있는(ordered) 체(field)로[1], 우리가 살고 있는 이 우주에서 유일하다. 실수의 집합은 흔히 [math]\mathbb{R}[/math]로 표기한다.
정의[편집]
유리수로 이루어진 모든 수렴하는 수열의 집합을 생각하자. 그 수열들 중에서 극한값이 같은 것끼리 모으는 분할을 생각하면, 각각의 분할을 하나의 수(그 분할 안에 있는 수열들의 극한값)에 대응시킬 수 있다. 이렇게 만든 수의 집합이 실수이다.
성질[편집]
- 실수 집합 안에 있는 임의의 코시 수열은 실수로 수렴한다.[2](완비성)
- 실수는 일반적인 덧셈과 곱셈에 대해서 체이다.
- 위로 유계인 실수의 부분집합은 최소상계[3]를 가진다. (최소상계 공리)
- 실수의 개수는 자연수의 개수보다 훨씬 많다(비가산 집합). 정확하게는 자연수 집합의 모든 부분집합의 개수만큼 많다. 이것을 일반적인 표현 방식으로 쓰면 다음과 같다.
- [math]\left| \mathbb{R} \right| = \left| \mathcal{P}(\mathbb{N}) \right| = 2^{\aleph_0} = \aleph_1[/math]
- [간략한 증명] 실수에 위상을 준 위상 공간 [math]\left( \mathbb{R},\ \mathcal{T} \right)[/math]를 일반적인 거리 위상(metric topology)을 갖는 위상 공간이라고 하자.
- 그러면, 집합족 [math]\mathcal{B} = \{B=(a, b)|\ a,\ b \in \mathbb{Q},\ a\lt b \}[/math]는 [math]\mathbb{R}[/math]의 가산 기저(countable base)가 된다.
