평면

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평면은 무한히 넓고 완전하게 평평한, 부피가 없는 기하학적 요소이다. 기하학 기초론에서는 평면은 무정의 용어로, 공리를 설정하여 간접적으로 규정하여 사용한다.

평면에 대한 공리[편집]

  • 한 직선위에 있지 않는 임의의 세 이 정하는 평면은 유일하다.
  • 두 개의 서로 다른 점이 한 평면위에 있다면, 그 점들을 잇는 직선은 그 평면에 포함된다.
  • 두 개의 평면이 한 점을 공유하면, 그 점을 지나고 두 평면에 모두 포함되는 직선이 정확하게 하나 존재한다.

공간(3차원)[편집]

점과 평면[편집]

3차원 공간에서 임의의 점은 어떤 평면 위에 있거나, 그것에 포함되지 않는다.

직선과 평면[편집]

  • 한 직선과 한 평면은 다음 중 한 가지 관계에 있다.
    1. 평면이 직선을 포함한다.
    2. 한 점에서 만난다.
    3. 서로 평행하다.

평면과 평면[편집]

  • 어떤 두 평면은 다음 중 한 가지 관계에 있다.
    1. 서로 같다.
    2. 서로 만난다. 두 평면이 만나면 직선이 생기는데, 그것을 "교선"이라고 한다.
    3. 서로 평행하다.

평면의 식[편집]

직교 좌표계[편집]

일반적인 3차원 이상의 [math]n[/math]차원 직교 좌표계에서, 평면은 [math]n-2[/math]개의 일차식에 대한 연립방정식의 해공간이다.

공간 직교 좌표계[편집]

공간 직교 좌표계에서 임의의 평면은 다음과 같은 하나의 일차식으로 표현될 수 있다.

[math]ax + by + cz + d = 0[/math]

이 평면은 법선벡터[math]\mathbf{n} = (a,\ b,\ c)[/math]인 평면이다.

이면각[편집]

두 평면이 이루는 각의 크기를 이면각이라고 한다. 이면각은 두 평면의 법선벡터가 이루는 각과 크기가 같다. 3차원 직교 좌표계에서 두 평면의 이면각은 다음 공식을 이용하여 구할 수 있다.

[math]S_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0[/math]
[math]S_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0[/math]

위에 주어진 두 평면 [math]S_1[/math][math]S_2[/math]가 이루는 각의 크기가 [math]\theta[/math]이고, 두 평면의 법선벡터가 각각 [math]\mathbf{n_1}, \mathbf{n_2}[/math]라면 다음이 성립한다.

[math]\cos{\theta} = \frac{\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}}{\| \mathbf{n_1}\| \| \mathbf{n_2} \|} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}[/math]

(단, 여기서 [math]\| \mathbf{x}\|[/math]는 벡터 [math]\mathbf{x}[/math]의 크기.)

부분공간[편집]

원점을 지나는 평면은 그 평면을 표함하는 공간의 부분공간이 되고, 차원2이다.

같이 보기[편집]