차원
기하학에서 차원(dimension)이란 어떤 공간에 있는 임의의 점의 위치를 표시하기위한 최소한의 요소의 수이다. 예를 들어, 평면 위에 있는 어떤 점의 위치를 표시하려면 적어도 두개의 좌표가 필요하므로 평면은 2차원이다.
선형대수학
선형대수학에서 어떤 벡터 공간의 차원은 그 벡터 공간의 기저(basis)를 이루는 원소의 개수이다. 예를 들어, 3차원 유클리드 공간 [math]\mathbb{R}^3[/math]의 기저 중 하나인 [math]\beta = \{(1,\ 0,\ 0), (0,\ 1,\ 0), (0,\ 0,\ 1)\}[/math]의 원소의 개수는 3개이므로, [math]\mathbb{R}^3[/math]의 차원은 3이다.
- 차원이 같은 벡터 공간은 서로 동형이다.
물리학
물리학에서 어떤 물리량의 차원은 그 물리량을 표시할 때 필요한 단위로, 기본적인 것에는 길이 차원(L), 질량 차원(M), 시간 차원(T)이 있다. 예를 들어, 힘의 단위는 [math]킬로그램·미터/초^2[/math]으로 쓸 수 있으므로, 힘의 차원은 [math]\frac{ML}{T^2}[/math]이다.
하우스도르프 차원
하우스도르프 차원(Hausdorff dimension)은 어떤 거리공간의 차원을 음이 아닌 실수로 확장한 개념으로, 펠릭스 하우스도르프의 이름을 땄다. 하우스도르프 차원은 어떤 거리공간의 차원을 다음과 같이 정의한다.
- 어떤 공간을 [math]n[/math]배 확대했을 때, [math]m[/math]개의 원래 공간이 생긴다면, 그 공간의 차원은 [math]\log_{n}{m}[/math]이다.
예를 들어, 가로와 세로의 길이가 1인 평면을 2배 확대하면 가로와 세로의 길이가 2인 평면이 생기는데 이것은 원래의 평면이 4개 생긴 것과 같으므로 이 평면의 차원은 [math]\log_{2}{4}=2[/math]이다.
같이 보기
| 점, 선, 면, 그리고 공간에 대해 연구하는 학문 - 기하학 |
|---|
